第 5 章　弯曲内力：剪力图与弯矩图

5.1梁、支座与荷载

以弯曲为主要变形的构件叫梁。梁的受力特点是：外力（荷载和支座反力）的作用线都垂直于梁的轴线，于是梁被「弯」起来。

梁靠支座支撑。工程上最常见的三种支座，各有不同的「约束能力」：

数一数「未知量」和「方程」的个数，还能判断一根梁是静定还是超静定。竖向荷载作用下，平面力系能提供两个独立平衡方程（ΣF_y = 0 与 ΣM = 0）。简支梁两个支座恰好提供两个竖向未知反力，未知量数=方程数，反力全部可解，是静定梁；悬臂梁固定端虽有 3 个未知量，但水平方向无荷载，由 ΣF_x = 0 直接得水平反力为零，剩下 2 个未知量对 2 个方程，也是静定的。若给简支梁再加一个中间支座（三支点梁），未知反力 3 个 > 方程 2 个，光靠平衡方程解不全——这就是超静定梁，必须补充「变形协调条件」才能求解，要等第 8 章学会计算弯曲变形之后才回来处理它。本章只画静定梁的内力图。

三类支座在工程里各有原型：桥梁的支座垫板与销轴是固定铰；桥墩顶面的滑板、辊轴是可动铰——给热胀冷缩留出伸缩自由；阳台插入墙体的现浇段、焊接固结的悬臂刚架是固定端。选择支座形式的原则是约束与变形需求相匹配：该放变形的地方要「松」，该传力矩的地方要「紧」——一根长梁若两端都做成固定端，温度变化会引起巨大的约束应力，这时可动铰就是必要的「松扣」。

三种典型梁，都由这些支座组合而成：

• 简支梁：一端固定铰、一端可动铰（最常见的「两头搁着」）。
• 悬臂梁：一端固定端、另一端自由（像跳水板、阳台）。
• 外伸梁：简支梁的一端或两端伸出支座之外。

荷载（作用在梁上的外力）常见三种：集中力（作用在一点）、集中力偶（作用在一点的力矩）、分布荷载（沿梁长连续分布，如自重、雪载，记作 q，单位 N/m）。

三种荷载里，要特别说说「集中力」：现实世界里并没有作用在一个几何「点」上的力。轮子压在梁上，接触宽度有几十毫米；梁搭在墙上，搭接长度也有几十厘米。集中力只是分布荷载在作用长度很小时的简化抽象——好处是分段清晰、计算简便；代价是作用点附近的真实应力分布很复杂。好在这正是第 2 章圣维南原理的用武之地：稍离开作用点，应力分布就恢复规律，内力图依然准确，所以集中力模型在全梁尺度上完全够用。分布荷载也并不总是均匀的：水箱侧壁的水压力沿深度线性增大，是三角形分布；机翼表面的气动载荷沿展向大致呈椭圆形衰减，工程上常简化成梯形分布。本章以「均布荷载」为主角，但分段、微分关系、叠加这些方法是通用的，换成任何分布都一样适用。

实际结构千姿百态，画内力图之前先要把它简化成计算简图：① 杆件用其轴线代替；② 支座按约束能力归入三类基本支座之一；③ 荷载按作用方式归入集中力、集中力偶或分布荷载。图 5-1 画的就是三种典型梁的计算简图。这个「抓主要矛盾、舍弃次要细节」的简化，是所有工程分析的第一课；简化的好坏，最终由计算结果与实测的符合程度来检验。

按轴线形状，梁分直梁与曲梁；按截面是否沿长度变化，分等截面梁与变截面梁。本章讨论最基本的一种：轴线为直线、截面沿长度不变、荷载与变形都发生在梁的一个纵向对称平面内的平面弯曲。若荷载平面与形心主惯性平面不重合，梁会「歪着弯」（斜弯曲），那是第 10 章组合变形的课题；曲杆（如吊钩、曲轴）的弯曲另有专门理论处理。先学好平面弯曲，是所有这些推广的地基。

梁在航空与土木结构里无处不在：机翼沿展向可以看成一根受分布气动升力的悬臂梁；机身在气密压差与设备载荷下，像一根「搁」在两翼上的长梁；楼板、桥梁、货架横梁更是俯拾皆是。画内力图是这些结构设计的第一步——先知道每个截面上「内力多大」，才谈得上后面几章「应力多大、够不够强、变形大不大」。

5.2剪力与弯矩

用截面法在梁某处假想切开，截面上的内力可以分解为两个分量：

• 剪力 Q：平行于截面的内力（把梁「上下错开」的趋势）。
• 弯矩 M：截面上的内力偶矩（把梁「弯起来」的趋势）。

两者的正负号，是画图的前提，务必记牢：

为什么要如此计较正负号？因为内力看不见摸不着，全靠这套「约定俗成的语言」交流。更重要的是它的工程含义：正弯矩使梁下缘受拉，负弯矩使梁上缘受拉。钢筋混凝土梁的受拉一侧要配抗拉钢筋——跨中通常是正弯矩，钢筋配在梁底；连续梁的支座处常是负弯矩，钢筋就要配到梁顶。符号一旦弄反，配筋位置就反，这不是「规定好不好记」的问题，而是真金白银甚至安全的问题。

求内力的步骤，仍是老套路：先求支座反力 → 在目标截面切开 → 取一段 → 列平衡方程 → 解出 Q 和 M。

熟练之后，可以跳过「取脱离体、画受力图」的完整流程，直接从截面一侧把内力「读」出来，称为直接法：剪力 Q 等于截面一侧（通常取外力较少的一侧）所有横向外力的代数和，左侧向上（或右侧向下）的外力取正号；弯矩 M 等于一侧所有外力对截面形心力矩的代数和，左侧顺时针（或右侧逆时针）的力矩取正号。对悬臂梁，永远从自由端一侧读内力，连支座反力都不用求——这是直接法最痛快的应用场景。

截面法实操中，「取哪一侧」有讲究：原则是取外力少的一侧——段上力越少，方程越短，出错越少；悬臂梁永远取自由端一侧（零反力），外伸梁的外伸段同样从自由端取。画受力图遵守三条规范：① 先画已知外力，未知内力一律按正方向假设，算出负值说明实际方向相反，不必擦图重画；② 力臂从截面形心量到外力作用线，力偶的矩与作用点无关；③ 对截面形心取矩时剪力过形心、力臂为零，不进方程——这就是弯矩方程里只出现外力矩的原因。另外，取左段与取右段算出的 Q、M 必然等值同号：两侧内力互为作用与反作用，又按同一正负约定描述。若两侧算出不同，说明平衡方程列错了——换一侧验算，是截面法最便宜的自检。

内力随截面位置 x 变化。把 Q(x)、M(x) 写成分段函数，就是内力方程；方程的分段点，就是集中力、集中力偶、分布荷载起止点。下一节的「内力图」，本质上就是把内力方程逐点画出来。

内力方程写好后，建议做两件小事：一是把分段点的左、右极限都代入一遍，预判跳变与尖角；二是对方程求导核验——M 对 x 的导数应回到 Q，Q 的导数应回到 −q（q 向下时）。方程与图形、微分与积分互相印证，是最扎实的练习方式。

单位与量级感也值得建立：剪力单位是 kN（与外力同级），弯矩单位是 kN·m（力×臂）。一根 6 m 跨的简支梁，跨中集中荷载 100 kN 量级时，跨中弯矩就是 150 kN·m 量级。心里有这本「量级账」，算出离谱的数（比如忘乘力臂，把弯矩算成剪力的量级）就能立刻察觉。

5.3荷载、剪力、弯矩的微分关系

如果每次都要「切一刀、列一次方程」，画图会非常繁琐。好在剪力 Q、弯矩 M 和分布荷载 q 之间存在一组漂亮的微分关系，它让我们能「一眼看出图的形状」。这组关系的推导也不难：从梁上取一个微段 dx，列平衡方程即可得到。

推导（微段平衡法）。在坐标 x 处取长度 dx 的微段，左截面内力为 Q、M，右截面为 Q + dQ、M + dM，全部按正方向画出；微段上分布荷载的合力于 dx 上为 q·dx（本节约定 q 以向上为正，与 y 轴同向）。先列竖向平衡：

ΣF_y = 0：左面向上 Q + 荷载 q·dx − 右面向下 (Q + dQ) = 0，消去 Q 得 dQ = q·dx，即 dQ/dx = q。再对右截面形心取矩：左面弯矩 M（顺时针，−M）+ 左面剪力 Q·dx（对右截面形心为顺时针力矩，−Q·dx）+ q·dx·(dx/2)（高阶小量）− 右面弯矩 M + dM（逆时针，+）= 0。展开后含 (dx)² 的项相对 dx 是高阶小量，略去，得 dM = Q·dx，即 dM/dx = Q。把 dM/dx = Q 再对 x 求一次导并代入 dQ/dx = q，即得 d²M/dx² = q。三条关系全部到手——每一步都只是「微段的平衡方程」，没有引入任何额外假设。

这组式子的物理意义极其重要，是画图的核心工具：

• 剪力的斜率 = 分布荷载 q：剪力图上某点的切线斜率，等于该处的分布荷载。无荷载段（q=0），剪力是水平线；均布荷载段（q=常数），剪力是斜直线。
• 弯矩的斜率 = 剪力 Q：弯矩图上某点的切线斜率，等于该处的剪力。剪力为零处，弯矩取得极值（斜率=0）。
• 弯矩的凹凸 = 分布荷载 q：q 向下（为正的均布荷载）时弯矩图下凸；q 向上时上凸。

还有一个推论：集中力作用处，剪力有突变（跳变等于该集中力），弯矩连续但斜率突变；集中力偶作用处，弯矩有突变（跳变等于该力偶），剪力不变。这些「跳跃」是画图时最容易错的地方。

「突变」还可以从微分关系看懂：把集中力 F 想成作用在长度 ε→0 的一小段上的分布荷载，合力 F，则这一小段内 dQ/dx 巨大而总增量恰为 −F，于是剪力图在这一点「瞬间」跳变 F——集中力是分布荷载的极限情形，突变是它留下的影子。集中力偶同理：力偶是等值反向的一对力相距 ε 的极限，它不改变合力（所以剪力不跳），却留下力偶矩（所以弯矩跳变 M_e）。

把微分关系积分，还能得到一组同样好用的关系：dQ/dx = q 两边积分，得某段剪力的增量 = 该段 q 图面积（按上述符号约定）；dM/dx = Q 积分，得某段弯矩的增量 = 该段剪力图面积。后一条特别实用——从弯矩已知的截面（通常是 M=0 的支座或自由端）出发，逐段累计剪力图面积，不写一个方程就能把弯矩图「描」出来，称为面积法。

把三条关系读成「斜率语言」，就得到一套逐段检查图形的流程：从左端出发，先由荷载定剪力——无荷区剪力走水平线，均布区走斜直线；再由剪力定弯矩——剪力为正弯矩上升、为负下降、过零换坡向；最后由荷载定凹凸——有分布荷载的区段弯矩是抛物线，q 向下时开口向下、顶点迎着荷载，无荷区弯矩退化为直线。图形画完，按这套流程倒着「读」一遍，斜率、凹凸、极值逐项对号，绝大多数画图错误（漏跳变、顶点放错段、抛物线开口画反）都能当场暴露。

把图形规律汇总成一张「画图检查表」：

用微分关系还能「未算先知」复杂荷载下的图形形状。设简支梁受三角形分布荷载（跨中集度最大、两端为零）：由 dQ/dx = q，剪力图是二次曲线（q 的一次积分）；由 d²M/dx² = q，弯矩图是三次曲线（q 的再积分）。再读细节：跨中集度最大处剪力图斜率最陡、弯矩图曲率最大；两端 q = 0 处剪力图切线水平。一条「积分链」读下来，形状、凹凸、切线倾角全部定性画出——这就是图解法的功力：不写一个数字，先把图形轮廓勾在心里，再算关键截面补数值，计算量省一半。

最后辨析一对容易混淆的说法：「Q=0 处 M 取极值」不等于「M 最大」。极值是局部概念——抛物线的顶点；最大值要全梁比较，候选点至少有四类：① 支座截面（例题 3 的外伸梁，支座 B 的负弯矩比正极值大得多）；② Q = 0 的抛物线顶点；③ 集中力作用点（弯矩尖角两侧）；④ 集中力偶作用点两侧（弯矩突变处，左右都要单独算）。凡突变处，两侧都算；凡找 M_max，正负极值都比大小。

5.4剪力图与弯矩图的绘制

把上面所有规则串起来，画剪力图和弯矩图的标准流程是：

1. 求支座反力（用整体平衡方程）；
2. 分段：按「集中力、集中力偶、分布荷载起止点」把梁分成若干段；
3. 逐段画 Q 图：用 dQ/dx=q 判断每段 Q 的形状，算出关键点剪力值，连起来；
4. 逐段画 M 图：用 dM/dx=Q 判断每段 M 的形状，算出关键点弯矩值；
5. 标出极值：剪力为零处弯矩取极值，集中力偶处弯矩突变。

反力求出后务必先校核一次（ΣF 与 ΣM 各满足一遍）再往下画——反力错，全图错。另外提示一点：内力图横轴沿梁长、纵轴是内力值；弯矩图有「画在受拉一侧」（土建惯例）与「画在正值一侧」（机械惯例）两种约定，本章按后者，读工程图纸时先认清约定，不要读反。

以「简支梁中点受集中力 F」为例：

注意这张图里的规律：集中力处剪力跳变；无荷载段剪力是水平线（q=0）、弯矩是斜直线（Q=常数）；弯矩最大点恰好是剪力过零处。

四种「标准工况」的现成结论值得做成手边的速查表——它们是叠加法的基本零件：

这套「基本零件」在例题 5 里立即用上：ql²/8 与 Fl/4 直接相加得 36 kN·m。手算熟练的工程师看到简支梁，第一反应就是把荷载拆成这几件零件。

内力图的价值不止于找最大值。剪力图告诉你梁各段「错动趋势」的大小——连接件（螺栓、焊缝、胶层）的布置密度跟着剪力走；弯矩图告诉你各段「弯曲程度」——变截面梁（鱼腹梁、阶梯轴）的截面尺寸跟着弯矩走。会「读」图的人，能从一张弯矩图反推出梁上的荷载布置，也能从荷载布置预判图形形状——正反两个方向都通，才算真正掌握这一章。

三道例题合起来，提炼出一张危险截面候选清单：① 支座截面（剪力常在此最大；外伸梁、连续梁的支座弯矩也常最大）；② Q = 0 的抛物线顶点（正弯矩极值）；③ 集中力作用点（M 出现尖角，两侧斜率不同）；④ 集中力偶作用点两侧（M 突变）。把候选点逐个算值、正负都比大小，才算完成一次可靠的「内力诊断」。第 6 章校核弯曲正应力时，用的正是这张清单筛出来的 M_max。

再送一份画图常见错误清单，画完逐条对号：① 反力没校核——ΣF 与 ΣM 各要满足一次，否则后面全错；② 分段点漏数——分布荷载起止点、集中力、集中力偶、中间支座一个都不能漏；③ 跳变加错方向——从左向右，向下的集中力使剪力图下跳；④ 抛物线顶点放错位置——顶点必在 Q=0 处，不是区段中点（除非恰好重合）；⑤ 力偶两侧只标一侧值——两侧要分别算；⑥ 外伸段忘了从自由端读内力，多绕了反力弯路还引入误差；⑦ 图形不闭合——终点没回到支座处的零，多半是反力或面积算错。画图是「三分画、七分查」，检查依据全在 5.3 节的微分关系里。

5.5叠加法

当梁上同时有好几种荷载时，可以借助叠加原理：

为什么能叠加？因为在小变形假设下，控制方程（平衡方程、胡克定律）都是线性的——「两个输入的和」产生的响应，等于「两个响应之和」。所以遇到复杂荷载，可以拆成几个简单荷载（集中力、均布荷载、力偶）分别画弯矩图，再逐点相加，得到总弯矩图。

具体操作有两种：图形叠加——把各分弯矩图画在同一基线上，同一截面的纵坐标代数相加（异号时正负抵消）；方程叠加——各荷载的 M(x) 分段表达式相加后再画图。图形叠加直观、方程叠加不易错，工程上常「图形定位、方程定量」。两个前提要盯紧：各分图必须对同一截面、同一符号约定相加；两图最大值若不在同一位置，就绝不能只把顶点值简单相加，必须逐点叠加。

叠加法不仅用于画图，第 8 章算弯曲变形、第 10 章算组合变形时都会反复用到，是材料力学里最常用的「化繁为简」技巧。也要记住它的边界：一旦梁开裂（材料非线性）或变形大到改变几何关系（几何非线性），叠加立即失效——本科材料力学始终活动在线弹性小变形的范围内，这条前提写进了叠加原理的每一个应用场景。

最后交代一个画法细节：本章弯矩图把正弯矩画在基线上方，与机械类教材一致；土建类教材习惯把弯矩画在受拉一侧（正弯矩画在基线下方）。两种画法数值完全一致，只是纵轴取向不同；读工程图纸时先认清图例约定，不要一上来就按自己的习惯读反。

叠加时荷载怎么拆也有讲究：优先拆成「有现成结论」的标准工况——全跨均布、跨中集中力、端部力偶、悬臂端集中力，这些图形信手拈来；其次才拆成需要现算的非标准工况。拆法不同、答案相同，但工作量可以差好几倍——「化繁为简」的本意正在于此：把不认识的复杂问题，翻译成若干个认识的简单问题。

叠加法在工程里的正式名字叫荷载工况组合：设计规范要求分别计算恒载（自重）、活载（人员与设备）、风载、雪载等各工况的内力，再按规则组合出最不利内力——把所有可能内力「包」在上下包络线之内，结构的每一处按包络值设计。一架飞机的机翼要分别分析气动载荷、油箱载重、着陆冲击等工况，再组合出剪力包络图与弯矩包络图，道理与例题 5 完全相同。理解了本章的叠加原理，就读懂了设计规范里「为什么要这样组合」的理论根基。