第 3 章　流体运动学

3.1两种描述方法：拉格朗日 vs 欧拉

流体由海量质点组成，怎么描述它们的运动？数学上有两种截然不同的「视角」，理解它们的区别是入门运动学的第一步。

拉格朗日法：跟踪每一个质点

拉格朗日法像「给每个流体微团装上 GPS」：选定某一个质点，跟着它走，记录它每一时刻的位置、速度、压强。质点 a 的轨迹写成 r = r(a, t)，速度 v = v(a, t)。

这种方法和中学力学里「跟踪一个质点」完全一致，很直观。但对流体来说有个致命问题：流体的质点无穷多，你根本没法一一跟踪。一盆水里有天文数字个「微团」，逐个编号、逐个追踪，在数学和计算上都不现实。

欧拉法：盯住空间每一个点

欧拉法换个思路：不跟踪质点，而是盯住空间里的固定位置，看「流过这里的流体此刻速度多大、压强多大」。所以欧拉法给出的是「速度场」：

v = v(x, y, z, t)

意思是：在位置 (x,y,z)、时刻 t，流体流经那里的速度是 v。整个空间每一点、每一刻都有个速度矢量，这就构成了一个「速度场」。

把两种描述放进同一张对比表

表格里最要紧的一行是「时间导数的含义」。同一个记号 d/∂t，在两种描述里含义完全不同：拉格朗日的导数天然就是「质点的加速度」；欧拉的 ∂v/∂t 却只是「固定观察点上速度读数的变化」，两者不能混为一谈。还有一个初学者最常见的陷阱：欧拉场 v(x,y,z,t) 中 x、y、z 与 t 是四个相互独立的自变量——求 ∂v/∂t 时把 x、y、z 当常数，并不是「位置随时间在动」。位置当然会动，但那是质点在动，不是坐标在动；要把「场」与「轨迹」接上关系，需要下面这条桥。

质点导数：连接两种描述的桥

工程上最常问的问题其实是拉格朗日式的：「跟着流体走的那个微团，加速了没有？」（牛顿第二定律天生跟质点走）。而手里只有欧拉场，怎么办？把质点位置 x(t) 代入场 v(x,t)，对 t 复合求导：

第一项 ∂v/∂t 是「就地加速度」——站在原地不动，看该点速度随时间变不变；第二项 (v·∇)v 是「迁移加速度」——质点自己搬家，从速度小的地方搬进速度大的地方（或反之），即使场是定常的（∂v/∂t = 0）它照样存在。最典型的例子：收缩管道里的定常流。每一点的流速读数永远不变（定常），但一颗随流而下的粒子从粗管进入细管，速度不断增大——它加速的全部来源是迁移项。同理，弯道、泵叶轮里的流动都是「定常却有加速度」的例子。第 4 章把牛顿第二定律写进流体力学（N-S 方程）时，左端就是这个质点导数。

两种描述在测量与计算技术里各有传人：蹲点式仪表——热线风速仪、皮托管、静压孔、气象站，全都是欧拉式的（固定位置读数）；跟人式测量——PIV（粒子图像测速）在流场里撒满示踪粒子、用激光片光拍摄粒子位移反推速度，本质是拉格朗日式的观测、欧拉式的输出。数值模拟同样分成两派：绝大多数 CFD 用欧拉网格（把空间切成格子，每个格子算出场量）；粒子法（SPH、分子动力学）则直接跟踪粒子，适合溅射、破碎、多相等「网格跟不上」的场面。方法可以混搭，但「哪种描述」这个问题必须先想清楚——它决定了你的时间导数是 ∂/∂t 还是 D/Dt。

3.2流线、迹线、流管与流束

欧拉法给出「速度场」，我们怎么把速度场「画」出来？答案是流线。

流线

流线是这样的曲线：曲线上每一点的切线方向，都等于该点流速的方向。换句话说，流线是「顺着速度场方向画出的曲线」，就像用无数小箭头连起来的「等速方向线」。

流线有几个重要性质：

• 流线上每点的切线 = 该点速度方向。
• 流线不能相交（否则交点处一个流体微团会有两个速度方向，矛盾）。
• 流线密的地方流速大，疏的地方流速小。
• 在定常流动（流场不随时间变化）中，流线形状不随时间变，且与迹线重合。

迹线

迹线是「某一个流体质点在一段时间内走过的路径」——它属于拉格朗日视角。流线是「某一瞬间整个速度场的图景」（欧拉视角），迹线是「一个质点一生的轨迹」。二者只在定常流动中重合；非定常流动中一般不同。

流管与流束

在流场中取一条闭合曲线，过曲线上每一点作流线，这些流线围成一个「管道」，叫流管。流管内的流体叫流束（或元流）。因为流线不相交，所以流体不能穿过流管壁——流管就像一根「无形的管道」，管内的流体只能沿管流，进不来也出不去。这个性质非常有用：它让我们可以像分析真实水管一样分析任意的流束。

三种线的严格定义与求解方程

把三种线各自的数学定义写清楚，区别就藏在这些定义里：

• 流线（streamline）：某一瞬间的曲线，线上每点的切线方向 = 该点该瞬间的速度方向。求法：解流线微分方程 dx/u = dy/v = dz/w，其中 t 当固定参数。
• 迹线（pathline）：某一个质点走过的轨迹。求法：解常微分方程组 dx/dt = u(x,y,z,t)（t 是真变量），给定初始位置。
• 脉线（streakline）：某一时刻，把「先后从同一个空间点出发」的所有质点连起来的线——烟囱里冒出的烟、注射器注入流体的染色线都是脉线。

三个「的」字答案不同：流线属于一个瞬间，迹线属于一个质点，脉线属于一个出发点。流动定常时，场不随时间变，三种线完全重合——这就是为什么日常照片里烟线、轨迹、流线看起来是同一回事。一旦流动非定常，三者立刻分道扬镳。

随堂快算（解流线微分方程）：给定流场 u = x、v = −y（m/s），求流线族。流线方程 dy/dx = v/u = −y/x，分离变量积分得 ln y = −ln x + C，即 xy = C——一族以坐标轴为渐近线的双曲线：第一、三象限的流线像「绕过原点拐弯」，原点是速度为零的驻点。这个经典流场（驻点流）是第 10 章绕流理论的基本构件，值得亲手解一遍，体会「流线 = 把速度场的方向积分出来」。

再补一段流线可视化的现场感。实验流体力学里「画流线」有一整套工具：在水面撒铝粉、在气流里吹烟线、贴在模型表面的短丝线簇（丝线随风摆向即当地流向）、氢气泡法在水里拉出时间线。计算机时代则反过来：给定速度场，从一堆种子点解流线方程、把结果画成箭头图——CFD 软件后处理里的「流线图」就是这样算出来的。看图时务必先问一句：这是定常流场吗？定常，流线即轨迹；非定常，流线只是「那一瞬间的方向图」，别把它读成粒子轨迹。

顺带验一眼上面那个驻点流的「旋」：Ω_z = ∂v/∂x − ∂u/∂y = 0 − 0 = 0——它是无旋的，因此存在速度势 φ = x²/2 − y²/2，使 v = ∇φ（可代入验算：∂φ/∂x = x = u，∂φ/∂y = −y = v）。「流线图」与「速度势」是同一张流场的两种画法，第 10 章势流理论将把这两套图景合流。

3.3流速、流量与平均流速

有了流管，可以定义几个最基本的「量」。

流速 u

某点的流速 u 就是该点速度矢量的大小。真实流动里，管道截面上流速并不均匀（贴近管壁慢、管中心快），所以严格说每点流速都不同。

流量 Q

流量 Q 是「单位时间内流过某一截面的流体体积」，单位 m³/s（也常用 L/s）。对微小截面 dA、法向流速 u，微流量 dQ = u·dA，对整个截面积分：

Q = ∫_A u dA

平均流速 v

为了工程方便，常用一个均匀的「平均流速」v 来代替真实的不均匀流速，定义为：

v = Q / A

意思是「如果截面上流速均匀，该是多少才能流过同样的流量」。这样 Q = v·A 就很简单了。后面讲连续性方程、伯努利方程时，通常都用这个平均流速。

把「平均流速」的定义再说透一层：v = Q/A 是流量等效定义——「假如截面上速度均匀，要流过同样的流量该是多快」——而不是截面上各点速度的算术平均。真实管流的速度分布总是中心快、贴壁慢（壁面无滑移，第 9 章解释），其形状由流态决定：层流是抛物线分布，管中心最大速度 v_max = 2v（平均流速的两倍）；湍流因掺混把分布「抹平」，v_max ≈ 1.2v（第 6 章细讲）。工程仪表绝大多数测的是流量（涡轮流量计、超声波流量计、电磁流量计各显神通），再除以截面积得平均流速——所以「平均流速」是工程里最真实、最常用的速度。

对可压缩流动，还要区分体积流量 Q（m³/s，随压强温度变）与质量流量 ṁ（kg/s，守恒量）：ṁ = ρQ = ρvA。气动管路常标「标准状态体积流量」（Nm³/h），本质是把体积流量折算到标准状态下的质量流量；液压与水力系统几乎全用体积流量。常用单位换算：1 L/s = 10⁻³ m³/s；1 L/min ≈ 1.667×10⁻⁵ m³/s；1 m³/h ≈ 2.778×10⁻⁴ m³/s。

为什么工程师执着于「控制流速」？因为流动损失与流速的平方成正比（第 7 章将给出公式）：流速翻倍，损失翻四倍，泵与风机的能耗随之暴涨；流速过高还激振管路、产生噪声与水锤风险；流速过低则管材浪费、杂质容易沉积。于是每个行业都有「经验流速区间」：液压吸油管 ≤ 1 m/s（防泵吸空）、压油管 3~5 m/s（兼顾损失与响应）、给水干管 1~2 m/s、通风主管 6~10 m/s——这些数字背后全是本章的 Q = vA 与后续章节的损失公式。

随堂快算（从分布积分到平均流速）：圆管层流的速度分布是抛物线 u(r) = u_max(1 − r²/R²)。按定义积分求流量：Q = ∫₀^R u·2πr dr = 2πu_max(R²/2 − R²/4) = πu_maxR²/2，除以截面积 A = πR²，得 v = u_max/2——层流平均流速恰为最大流速的一半。这个「2 倍」关系第 6 章推导层流公式时还会正式回来；这里请记住方法：平均流速是积分出来的流量等效值，不是速度的算术平均（层流下算术平均是 u_max/3，是错的）。

计量与计费的日常也全是流量。家用水表按体积流量计费（m³），加油机同样按体积（L）计——但燃油的热值与质量成正比，所以能量贸易与航空加油更关心质量；天然气管道行业用「标准状态体积流量」（Nm³/h，把体积折算到标准状态）来统一「同样多的气」；发动机试验台则常用质量流量计（热线式、科里奥利式）直接读 kg/s，因为进气量决定燃烧与推力。选哪个量、按哪个基准，取决于「什么守恒、什么在变」——不可压缩的液体随便用体积，可压缩的气体老老实实用质量或标况体积。

最后提防「平均」的代价：用平均流速计算动能时，抛物线分布的真实动能大于 v²/2 给出的值，需要乘一个动能修正系数 α——层流 α = 2，湍流因分布平坦 α ≈ 1.05~1.1。第 5 章写伯努利方程时它会正式登场；这里先记住「平均流速对流量是精确的，对动能是低估的」。

3.4连续性方程：质量守恒

现在讲运动学里最重要的定律之一：连续性方程。它的本质是质量守恒——流体不能凭空产生，也不能凭空消失。

从「进 = 出」推导

取一根流管（或一段管道），进口截面 1，出口截面 2。因为是定常流动、且流体不能穿过流管壁，那么在任意一段时间内：

• 从截面 1 流入的质量 = ρ₁·v₁·A₁·Δt（密度×流速×面积×时间）
• 从截面 2 流出的质量 = ρ₂·v₂·A₂·Δt

质量守恒要求「流入 = 流出」：

ρ₁·v₁·A₁ = ρ₂·v₂·A₂

这就是连续性方程。对不可压缩流体（ρ₁ = ρ₂），它简化为：

v₁·A₁ = v₂·A₂　即　Q₁ = Q₂

更一般地，连续性方程也可以用「场」的语言写成微分形式。对不可压缩流体，它是：

∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = 0

它说：速度场的「散度」为零，即流体在每一点都「有进有出、总量平衡」，没有体积被压缩或膨胀。这就是「不可压缩」的数学表达。

把连续性方程放到更一般的情形

两点式 v₁A₁ = v₂A₂ 是一维定常不可压缩的特例。往两边各放宽一步：可压缩定常流——密度沿程变化，守恒的是质量而不是体积：ρ₁v₁A₁ = ρ₂v₂A₂（气体管路、发动机进气道都要用这一版）；不定常流动——控制体内部的质量允许变化，进出流量不必相等，差额体现为内部质量的涨落：水箱放水时出口流量恒定而液面下降，就是「出 > 进、库存减少」的日常版。数学上统一写成「控制体质量守恒」：内部质量变化率 = 流入率 − 流出率。第 3 章先记住一维版，第 8 章会给出更一般的形式。

三维空间里，不可压缩意味着速度场的散度为零（div v = ∇·v = 0）：任意微团的体积膨胀率为零——不可压缩流体「不许膨胀、不许收缩」，流入微元多少就得流出多少。这是连续性方程的微分形式，也是 CFD 软件「检验解是否合理」的第一道关卡。

分支与汇合的流量平衡构成了管网计算的骨架：城市供水、液压回路、暖通水系统里，每个节点都写一条 ΣQ = 0（电工里的基尔霍夫电流定律一模一样——节点是电流/流量，环路是电压/压强），再配上每段的「流量—压降」关系（第 7 章），联立即可解出全网流量分配。生活里的直觉也全在这里：捏住水管的出水口，出口面积缩小，流量被「挤」过更小的截面，速度陡增——消防水枪的锥形喷嘴就是连续性方程的工业实现；反过来，河道放宽处水流放缓，泥沙沉降成浅滩。

「系统」与「控制体」：第 3.1 节的回响

连续性方程的推导用了一个新词「控制体」——空间里划定的一个固定区域，流体自由穿行。它与 3.1 节的两种描述一一对应：系统（始终由同一批流体质点组成的集合）是拉格朗日式的，「跟物走」；控制体是欧拉式的，「蹲点看」。物理定律（质量守恒、牛顿第二定律、能量守恒）天生写在系统身上；工程计算却只想算控制体——于是流体力学把定律从「跟物走」翻译成「蹲点看」，这个翻译机器叫雷诺输运定理。本节的连续性方程正是它对质量守恒的一次翻译成品；第 4 章动量定理、第 8 章能量方程将用同一台机器批量产出。现在只需记住这条哲学：定律属于系统，计算属于控制体。

随堂快算（可压缩流的 ρvA）：内径 50 mm 的压缩空气管，截面 1 处绝压 800 kPa、20℃，流速 5 m/s；下游截面 2 处绝压降到 700 kPa（温度近似不变）。空气气体常数 R = 287 J/(kg·K)。求两截面的质量流量与截面 2 的流速。解：ρ₁ = p/(RT) = 800000/(287×293) ≈ 9.51 kg/m³；A = π/4×0.05² ≈ 1.963×10⁻³ m²；ṁ = ρ₁v₁A = 9.51×5×1.963×10⁻³ ≈ 0.0934 kg/s。截面 2：ρ₂ = 700000/84091 ≈ 8.32 kg/m³；v₂ = ṁ/(ρ₂A) = 0.0934/(8.32×1.963×10⁻³) ≈ 5.72 m/s。同一条管、同一个 ṁ，压强降了 100 kPa，速度反而升了约 14%——气体降压膨胀，「变稀」的气体必须流得更快才能送走同样的质量。可压缩流里 vA 不守恒，守恒的是 ρvA。

3.5有旋流与无旋流

流体微团除了「平动」和「变形」，还可能在旋转。判断流动是否旋转，是流体力学的一个关键分类。

涡量

描述微团旋转的物理量叫涡量 Ω（或 ω），它等于速度场的「旋度」：

Ω = ∇ × v = 2ω

其中 ω 是微团的自转角速度。涡量可以粗略理解为「流体微团自转快慢的度量」。注意一个反直觉的事实：流体微团「绕圈流动」不等于「微团在自转」。比如水绕排水口转圈，微团可能一边绕大圈、一边自身并不打转（像坐摩天轮的人，整体绕圈但身体不翻转）。

有旋流与无旋流

• 有旋流：涡量不为零，流体微团有自转。比如搅动杯中的水、漩涡、湍流。
• 无旋流：涡量为零，流体微团不自转。很多外部流动（如均匀来流绕物体、势流）可近似为无旋流。

微团运动的完整分解与涡量

把一个流体微团的运动拆到最细（亥姆霍兹分解），一共只有四种成分：平动（整体搬家）、线变形（拉伸/压缩，用散度刻画）、角变形（被剪切「抹斜」，第 1 章说过 du/dy 就是角变形速率）、旋转（自转，用涡量刻画）。涡量只对应四种成分里的「自转」一项——这就是「绕圈 ≠ 有旋」的数学根源：绕大圈平动照样可以是零涡量。

两个「标准样本」值得亲手算一遍涡量。刚体式旋转 u = −ωy、v = ωx（像圆盘匀速转动）：Ω_z = ∂v/∂x − ∂u/∂y = ω − (−ω) = 2ω，处处有旋，涡量恰是自转角速度的两倍。自由涡 u = −Γ/(2πr)、v = Γ/(2πr) 带切向速度 u_θ = Γ/(2πr)（咖啡搅动后的外围、龙卷风外区近似）：算出来 Ω = 0（r ≠ 0 处）——微团沿圆周平动而不自转，涡量全部集中在中心奇点。圆周流可以无旋，直线流可以有旋，方向感完全靠不住，涡量只认「微团转不转」，不认「轨迹弯不弯」。

环量：涡量的「总账」与升力的伏笔

涡量是一点的旋转强度，把一张曲面上的涡量全部加总（积分），得到环量：

环量的直观含义：沿一条闭合曲线「顺着流走一圈」，把沿途的速度投影累加。它把「局部的旋转」汇总成「整体的旋转」，好处是——不用看见涡核也能算出转了多少。第 10 章的主角库塔-茹科夫斯基升力定理说的正是：翼型的升力 L = ρv_∞Γ——升力正比于绕翼型的环量。而环量从哪里来？翼型从静止起动时，后缘会甩出一团起动涡（向下的旋转），按「总环量守恒」的要求，绕翼型就留下了等值反向的环量——升力由此诞生。此外，钝体后方周期性脱落的卡门涡街会让结构物发生共振（电线在风里「唱歌」、烟囱与换热器管束的疲劳），涡的脱落频率同样是 Strouhal 数 × v/d——这些都属于「涡量动力学」，第 10 章再展开。本节先把账本记好：涡量是局部的旋转强度，环量是它的闭合回路总账，流动的很多宏观效应（升力、阻力、振动）都写在这本账上。

随堂快算（环量：刚体涡 vs 自由涡）：取 ω = 2 rad/s 的刚体式旋转流场，绕半径 r 的圆周求环量：Γ = ∮u_θdl = (ωr)(2πr) = 2πωr²。r = 1 m：Γ = 4π ≈ 12.57 m²/s；r = 2 m：Γ = 16π ≈ 50.3 m²/s——刚体涡的环量随半径平方增长，圆圈画得越大，圈住的涡量越多（Γ = ∫Ω dA = 2ω·πr²，斯托克斯定理验算一致）。换成自由涡 u_θ = Γ/(2πr)：同样绕一圈，Γ = [Γ/(2πr)]·2πr = Γ，与半径无关——涡量全集中在中心，圈外怎么画圈都圈不到新的涡量。同一个「转圈」外观，环量的账本暴露了完全不同的内部结构：刚体涡处处有旋，自由涡处处无旋（除中心奇点）。

最后看涡量的工程杀伤力。飞行器翼尖拖出的翼尖涡（诱导涡）旋转极强、寿命以分钟计，大中型飞机落地后留下的翼尖涡对后续飞机是实打实的危险——机场因此规定不同重量等级飞机之间的尾流间隔（分钟级或距离级），这不是官僚程序，而是被多起事故教训写出来的规程；直升机旋翼下洗与侧风卷起的涡环态、强侧风下桥墩后方成串脱落的漩涡对河床的冲刷、热交换器管束中卡门涡街诱发的管束共振，都是「涡」在真实世界里刷存在感的方式。第 10 章我们将带着涡量与环量这两件工具回去面对它们。

别忘了粘性在幕后扮演的角色：粘性是涡量的扩散剂与衰减剂。搅动一杯咖啡留下的涡量，会被粘性像「热水慢慢凉透」那样逐步抹平——涡量扩散与热传导服从同一类数学方程；高雷诺数下，强对流把涡量拉伸成细长扭结的涡管，湍流在某种意义上就是无数涡管的纠缠与串并。涡量一旦「生」在固壁边界（第 9 章的边界层就是涡量的生产基地），它的扩散、拉伸、脱落与再组织，就构成了流动从层流走向湍流的整条剧情线。