第 7 章　导数应用：极值与最优化

7.1单调性：导数决定升降

还记得导数的几何意义吗？导数 = 切线斜率。这个斜率是正是负，直接告诉我们曲线在往上走还是往下走：

• f′(x) > 0：切线向上倾斜，函数递增（x 增大，y 也增大）。
• f′(x) < 0：切线向下倾斜，函数递减。
• f′(x) = 0：切线水平，函数「停一下」，往往是转折点。

这个对应关系特别自然：切线的斜率，就是「曲线此刻往哪个方向走、走得多陡」。斜率为正就是上坡，为负就是下坡，为零就是平路（或顶峰/谷底）。

把直觉推严：为什么斜率正负能「锁死」升降

上面的对应关系很直观，但教材要的不只是直觉。在区间内任取两点 x₁ < x₂，只要函数连续可导，就存在一点 c 介于两点之间，使得 f(x₂) − f(x₁) = f′(c)·(x₂ − x₁)——这正是第 8 章要严格证明的拉格朗日中值定理。它的右端是两个数的乘积：

• 区间内处处 f′ > 0 时，右端 = 正 × 正 = 正，故 f(x₂) > f(x₁)：任取两点都「左小右大」，函数严格递增。
• 区间内处处 f′ < 0 时，同理 f(x₂) < f(x₁)，函数严格递减。

注意一个容易被忽略的细节：判定定理的完整条件其实是「f′ ≥ 0 且不恒为零」，允许导数在个别点取零。典型例子就是 y = x³：f′(0) = 0，但函数依然严格递增。因为「升降」是区间的整体性质，个别点的水平切线抹不掉整段的上坡。反过来说，由 f(x₂) − f(x₁) = f′(c)(x₂ − x₁) 还能读出第二条信息：如果 f′ 在区间上恒为零，那么任意两点函数值相等，f 是常数——「导数全零 ⟹ 函数不动」，这句话后面会反复用到。

工程视角：导数符号就是仪表盘上的「趋势灯」

工程判读里到处是单调性。飞机的高度—时间曲线 H(t)，其导数就是爬升率：H′ > 0 在爬升，H′ < 0 在下降，H′ = 0 的平飞段在曲线上表现为平台。结构加载试验中，载荷—位移曲线在弹性段斜率为正且近似常数，接近失稳（屈曲）时斜率会迅速衰减乃至变号——试验人员盯住的正是导数符号翻转的那一刻，它是结构行为改变的信号。再如电池放电曲线、燃料消耗曲线，工程师关心的「拐点」（口语意义）背后同样是导数符号的变化。

单调区间划分的边界情况：临界点清单不止驻点

把「导数定号」落到操作层面，就是把定义域切成若干单调区间，这一步最容易翻车的地方不在判号，而在切分点的名单不全。完整的临界点名单有三类：① 驻点（f′ = 0）；② 导数不存在的点（尖点、折点、竖直切线）；③ 区间端点与定义域断点。只会「令 f′ = 0」一套动作的同学，遇到含尖点的函数就会漏掉第二类，区间一切就错。

看第二类的典型：f(x) = (∛x)²。f′(x) = 2/(3∛x)：x < 0 时 f′ < 0，x > 0 时 f′ > 0，而 x = 0 处导数不存在（切线竖直的尖点）。函数在 (−∞, 0) 单调递减、在 (0, +∞) 单调递增，原点是极小值点——f(±8) = 4，而 f(0) = 0，谷底恰好落在这个「非驻点」上。可见名单里少了第二类，单调区间永远切不全。

再看反方向的情况——驻点未必切分区间。f(x) = x⁴ − 4x³，f′(x) = 4x²(x − 3)，候选点 0 与 3。列符号表：x < 0 时 f′ < 0；0 < x < 3 时，x² 因子非负、(x − 3) 为负，f′ 仍 < 0；x > 3 时 f′ > 0。驻点 0 只让 f′「触零不穿零」（二重因子 x² 的功劳），两侧同为递减，区间没有被切开；真正的分界只有 x = 3：f(3) = −27 是极小值，f″(3) = 36 > 0 从二阶角度印证。驻点是「嫌疑」，变号才是「判决」——这句判词与 7.2 节的极值判定一脉相承。

实操作业建议养成「符号表」习惯：把全部临界点从小到大排成一行，每个子区间任取一个好算的测试点判 f′ 符号，正负填表读结论。多临界点、高次因式分解的场合，这张小表比盯着公式心算可靠得多。

7.2极值与驻点

先分清两个词：

• 驻点：导数等于 0 的点（f′(x₀)=0），曲线在这里「停下来」。
• 极值：函数在某个局部范围内的最大或最小值——「局部最高」叫极大值，「局部最低」叫极小值。

关键问题：驻点和极值是什么关系？答案是：极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。

为什么「极值点一定是驻点」？想想图像：如果在某一点取到了局部最高，那么曲线在这一点必然是「平的」（切线水平）——因为如果还在往上走，那它就不是最高点，还能更高。所以极值点处 f′(x₀)=0，是驻点。

反过来，驻点为什么不一定是极值？看 y = x³ 在 x=0 处：f′(0)=3·0²=0，是驻点，但图像在 0 附近一路在上升（只是经过 0 时「短暂地水平了一下」），所以 0 既不是极大也不是极小。

那么，怎么判断一个驻点到底是极大、极小，还是「啥也不是」？两个办法：

方法一：一阶导数变号法

看驻点两侧 f′ 的符号变化：

• f′ 由正变负（先升后降）→ 极大值。
• f′ 由负变正（先降后升）→ 极小值。
• f′ 两边同号（一直升或一直降）→ 不是极值。

方法二：二阶导数法

二阶导数 f″（即导数的导数）描述「斜率变化的快慢」。在驻点 x₀（f′(x₀)=0）：

• f″(x₀) > 0 → 极小值（曲线在这里「向上弯」，谷底）。
• f″(x₀) < 0 → 极大值（曲线「向下弯」，山顶）。
• f″(x₀) = 0 → 无法判断，回到方法一。

把「极值点必是驻点」推严：费马引理

「曲线在局部最高处必然是平的」，这句话怎么严格论证？设 x₀ 是可导的极大值点，则它左侧附近的点满足 f(x) ≤ f(x₀)，右侧附近的点也是。把差商 [f(x) − f(x₀)]/(x − x₀) 拆成两侧看符号：

• 从左侧逼近（x − x₀ < 0，分子 ≤ 0）：两个非正数相除，差商 ≥ 0，故左导数 ≥ 0。
• 从右侧逼近（x − x₀ > 0，分子 ≤ 0）：分子非正、分母为正，差商 ≤ 0，故右导数 ≤ 0。

可导要求左右导数相等，一个「≥ 0」一个「≤ 0」还必须相等，唯一的可能是都等于 0。这就是费马引理：可导的极值点必是驻点。推导只用了一件事——极值的局部定义，所以结论对极大、极小同时成立。

工程视角：U 形曲线与「最佳工作点」

x + a/x 这种「一头抬升、一头压低」的结构在工程里随处可见：巡航速度太慢，时间成本（正比于 1/v 的部分）吃掉预算；太快，燃油成本（正比于 v 的部分）又会失控——总成本呈 U 形，谷底就是最经济巡航点。升力随迎角的变化同样存在极值：小迎角时升力系数沿「升力线」线性增长（导数为正常数），接近失速时导数逐渐减到零、再翻转为负——那个导数为零的迎角就是最大升力迎角，超过它，升力不升反降。风洞试验之后工程师对离散测压数据做的第一件事，往往就是「拟合曲线 + 找极值」，用的正是本节的流程。

条件的方向性：必要条件与充分条件辨析

极值判定里每个条件都带「方向」，方向感混乱是本章头号逻辑错误。先把术语立稳：若「A 成立必推出 B 成立」，则 A 叫 B 的充分条件，B 叫 A 的必要条件；互相推出才是充要条件。套进极值语境逐条验明正身：

• 费马引理「可导点取极值 ⟹ f′ = 0」：驻点是可导函数取极值的必要条件。极值点必然在驻点名单里，但名单上的未必是极值——x³ 的原点是驻点却不是极值。必要条件的职能是「圈定嫌疑范围」，它没有定罪权。
• 一阶变号「f′ 在 x₀ 两侧异号」：极值的充要判定（配连续性）。不放过也不冤枉，一阶变号法因此是普适底线。
• 二阶判据「f″(x₀) > 0 ⟹ 极小」：充分而不必要。快捷，但只覆盖 f″(x₀) ≠ 0 的地盘。

「不必要」的证据要亲手验：f(x) = x⁴ 在原点取极小，但 f″(x) = 12x² 在原点为 0，二阶判据交白卷。更扎眼的是把 x³、x⁴、−x⁴ 排成一行：三者在原点全部满足 f″(0) = 0，结局却分别是非极值、极小、极大——f″(x₀) = 0 这条信息本身不携带任何结论。所以规范流程是双轨的：f″(x₀) ≠ 0 时享受二阶法的快捷；f″(x₀) = 0 或 f″ 不存在时，无条件回退一阶变号法。把「工具失效」误读成「结论为否」，是比不会判定更隐蔽的失分点。

7.3最值：极值 vs 最值

「极值」和「最值」是两个不同概念，务必分清：

• 极值：局部的峰或谷。一个函数可以有很多个极大值和极小值。
• 最值：全局的最高点或最低点。在整个区间上，最大值、最小值各只有一个。

看图 7-3：曲线有多个「局部的小峰小谷」（都是极值），但整条曲线的最高点和最低点，才是最大值和最小值。

求闭区间 [a, b] 上连续函数最值的标准流程，只有三步：

1. 求出区间内所有驻点（f′=0 的点）及不可导点。
2. 把这些点以及两个端点 a、b 的函数值都算出来。
3. 比大小：最大的就是最大值，最小的就是最小值。

最值为什么「一定取得到」：闭区间的功劳

第 4 章的最值定理说过：闭区间上的连续函数必能取到最大值和最小值。直觉上，把一段连续曲线的两端「钉死」，再用一块平板从上往下压，最先碰到的点就是最大值点——因为区间是闭的（含端点）、函数是连续的（跳不过去），最高点逃不掉。而开区间就未必：y = x 在 (0, 1) 上没有最大值——你总能找到更接近 1 的更大值，可 1 本身不在区间里，「够不着」。这说明「最值存在」是闭区间 + 连续性送的大礼，也是三步法「算完再比大小」能够成立的前提：候选集里必然藏着最值点，别漏算就不会丢。

再看三步法背后的逻辑：最值点若在区间内部且函数可导，由费马引理它必是驻点；若在内部但不可导，它是不可导点；否则它在端点上。三类候选——驻点、不可导点、端点——不多不少恰好覆盖全部可能，所以三步法不是经验技巧，而是穷举候选集的定理。

工程视角：最优化常常落在边界上

工程设计的可行域几乎总是「闭」的：材料只能从标准规格里选、结构尺寸受安装空间限制、载荷受规范上限约束。例题 4 的最大值恰好落在端点 x = 3，这不是巧合而是常态——当目标函数在可行域上单调时，最优点必然贴边，工程语言的对应说法是「设计参数顶到约束边界」。在给定的舱内空间里想要尽量大的油箱容积、在允许包线内想要尽量短的布线长度，工程师会直接把尺寸推到限制值，而不是去解什么方程。数值仿真里常见的「参数扫描寻优」，本质就是例题 4 的机器版：把候选点全算一遍、列表比大小——候选集覆盖定理保证了这种笨办法不会漏。

7.4凹凸性与拐点

导数 f′ 告诉我们「升降」，二阶导数 f″ 告诉我们「弯曲的方向」——也就是凹凸性：

• f″ > 0：曲线向上凹（像碗，∪），切线斜率在增大。
• f″ < 0：曲线向下凹（像倒扣的碗，∩），切线斜率在减小。
• f″ = 0：弯曲方向可能改变的临界点。

曲线从「上凹」变成「下凹」（或反过来）的那个转折点，叫拐点。拐点处 f″(x)=0（或不存在），并且 f″ 要变号。

凹凸性有什么实际意义？它能帮我们判断极值的性质，还能理解很多现实规律——比如「边际收益递减」对应着「函数向上凹、增速放缓」。掌握了凹凸性，你读曲线就读得更透了。

凹凸的严格定义：割线与曲线谁在上

「看着像碗」不是数学。上凹（凹，开口向上）的严格定义是：曲线上任意两点的割线总在曲线上方，等价的中点形式为

f((x₁ + x₂)/2) ≤ [f(x₁) + f(x₂)]/2（上凹）

用人话说：「平均处的函数值」不高于「函数值的平均」——两个平均一比较，凹凸立判。这个不等式在概率与统计里大名鼎鼎（詹森不等式的原型），工程上「收益递减」的曲线（先猛涨后放缓）正是上凸的典型：中点值高于两端平均。

二阶导数为什么能「看出」弯曲？把 f″ 当成 f′ 的导数：f″ > 0 ⟹ 切线斜率一路递增 ⟹ 曲线像碗底一样从下方「托着」每一条切线；f″ < 0 ⟹ 斜率一路递减 ⟹ 曲线像倒扣的碗从上方「压着」切线。于是一阶、二阶合起来读曲线：「升得多快」看 f′，「快慢本身怎么变」看 f″——加速度的出现与 f″ 的符号是同一件事，这就是下一层直觉的来源。

工程视角：弯曲方向的信号量

凹凸性在工程判读里信息量很大。运动学中，位移 s(t) 的凹凸直接对应加减速：s″ > 0（上凹）说明速度在增大（加速段），s″ < 0（上凸）说明速度在减小（减速段），拐点即「由加速转减速」的时刻——刹车痕迹分析、列车站台停车曲线都在读这个信号。结构力学里，梁的挠曲线满足 EI·w″ = M（材料力学会证明），挠曲线的凹凸方向直接由弯矩符号决定，拐点对应弯矩变号的位置。经济与可靠性分析里的「边际收益递减」「浴盆曲线」，也是凹凸语言：总量上凸（增速放缓）时，即便还在涨，也该警惕峰值临近了。

7.5最优化：导数的实战

现在把前面所有知识串起来，解决一个经典的最优化问题。

设剪去的小正方形边长为 x。那么折起来的盒子：

• 底面是边长为 (1 − 2x) 的正方形。
• 高度是 x。
• 体积 V = (1 − 2x)² · x。

我们的目标：在 0 < x < 1/2 内，让 V 最大。

第一步：求导。把 V = x(1−2x)² 展开并求导（用乘法或链式法则都行），得到：

V′ = (1−2x)(1−6x)

第二步：令 V′=0 找驻点。解得 x = 1/2 或 x = 1/6。x=1/2 在边界外（底面变成 0），舍去；所以唯一候选是 x = 1/6。

第三步：判断。在这个区间内 V′ 由正变负，说明 V 在 x=1/6 处取最大值。

结论：四角各剪去边长 1/6 米的小正方形时，纸盒体积最大。这个结果有个漂亮的对称性——剪去的边长，正好是整个纸板边长的六分之一。

补一个数量级核查：把 x = 1/6 代回体积公式，V = (1 − 2/6)² × (1/6) = (2/3)² × (1/6) = 4/9 × 1/6 = 2/27 ≈ 0.074 立方米，约 74 升——对一张 1 米见方的纸板来说，这个量级是合理的。工程优化做完必须「回代查量级」：如果算出 7 升或 700 升，第一反应应该是建模或单位出了错，而不是继续往下推。

这类「求最大/最小」的问题，统一套路是四步，值得记牢：

再战一道经典：圆柱储罐的用料最省

纸盒是「体积最大」，现在换成对偶问题「用料最省」——两类问题共享同一套四步法，只是目标函数从「越大越好」翻转为「越小越好」。

为什么「唯一驻点」就敢下全局结论

例题 7 只找到一个驻点就宣布「最省」，底气来自两层论证：其一，边界变坏——r 趋向 0 或 ∞ 时 S 都趋向无穷大；其二，驻点唯一。合起来：S 从 +∞ 下降，中途只「歇脚」一次，之后回升到 +∞，那个歇脚点别无选择地成为全局谷底。这种论证在工程优化里极其常用——很多时候解方程容易、证唯一性难，而「边界物理变坏」的事实恰好补上最后一环。反之，如果 S(r) 有多个驻点，就必须回到 7.3 节的「候选集全算再比大小」。

向多维出发：一元最优的边界

本章的最优化始终只有一个自变量，但真实工程往往「多参数联动」：机翼的弦长、相对厚度、后掠角同时影响阻力特性；结构设计中桁条的截面高度、厚度、间距共同决定结构重量。当目标函数升级为 S(r, h) 这样的二元函数，「求导令零」就要推广为「对每个变量求偏导并令其同时为零」，再叠加约束条件的处理技巧——那是拉格朗日乘数法的舞台，属于多元微积分的内容。但底层思想与本章完全一致：极值点处，一切「可调方向」上的变化率都为零；一元情形打牢的这个直觉，到高维会原样放大，只是驻点从一个方程的根变成一组方程的解。

还有一类现实问题本章刻意回避了：目标函数不可导甚至不连续——比如材料只能从标准规格的离散序列里选，尺寸只能按整数毫米取值。此时解析求导失效，工程师退回到例题 4 的「候选点全算」：离散穷举、参数扫描、数值寻优。微积分给的是「连续世界」的钥匙，离散世界交给算法。两套方法在工程里常常接力：先解析地找到连续最优解，再到最近的离散规格里取值——正如例题 7 算出 r ≈ 1.08 米后，图纸上多半会圆整为 1.1 米，最后还要回代验一遍约束。

四步法的逐步自查清单：每一步都有标准翻车姿势

本节三道算例（纸盒、储罐、电路）把四步法走通了，但「走通」不等于「每次都走得对」。把四步拆开，给每步配上高频失效模式与对策，就得到一份可执行的 checklist：

• 第①步 建模：目标量是否已写成单变量函数（含两个变量时先用约束消元）？定义域写了吗、端点开闭分清了吗？量纲统一了吗？
• 第②步 求导：乘积、链式法则漏项了吗？求导结果化简到「能判号」的形态了吗——储罐题若不先把 S 化成 2πr² + 16/r 再求导，驻点就难一眼看出？
• 第③步 列候选：名单里只有驻点吗？不可导点与端点补了吗（呼应 7.1 的三类临界点）？「假解」（底面为零、长度为负）排除了吗？
• 第④步 判断回代：端点与驻点全算并比大小了吗（还是只验了驻点）？量级 sanity check 做了吗（纸盒的 2/27 立方米）？

用一道最小算例走查这份 checklist：用 12 米栅栏围矩形菜园，何时面积最大？①建模：设一边 x 米，另一边由周长约束为 6 − x，A(x) = x(6 − x)，定义域 [0, 6]；②求导：A′ = 6 − 2x；③候选：驻点 3 ＋ 端点 0、6，名单三类齐全；④判断回代：A(3) = 9，A(0) = A(6) = 0，比大小取极大 9 平方米，A″ = −2 < 0 从二阶角度印证。全程没有一步靠「猜正方形」的直觉——直觉只在算完后来点头。这份流程感，正是例题 8 电路题那句「数学给出极值，取舍由工程目标决定」能成立的前提。

本章的地基与出口：往第 8 章、第 12 章看

本章反复调用的两条结论——「f′ > 0 ⟹ 单调增」「可导极值点处 f′ = 0」——在本章以「可直接使用」的面目出场，它们的严格证明要到第 8 章微分中值定理才真正落地：前者靠拉格朗日中值定理（任两点连线斜率等于某中间点的切线斜率，斜率恒正则函数值恒升），后者即费马引理的完整陈述，与罗尔定理同源。换句话说，第 7 章是「用户」，第 8 章是「供货商」——学完中值定理回看本章，每个判据的底气都会显影。

出口方向是第 12 章积分应用：那里的应用题在两处反过来调用本章工具——「交点定积分限」时，交点常来自不便显式求解的方程，需要用单调性锁定根所在的区间（第 12 章 12.2 节的定限步骤）；算完之后的量级核查，也常借「区间上函数的最大最小值」来框住答案的合理范围。第 11 章的变上限积分更是直接把「求 F(x) = ∫_a^x f(t)dt 的极值」翻译成「找 f 的零点」，本章的判号流程在新语境里原样复用。导数工具箱不因章节翻页而退休——它是后面每一章的常驻插件。