第 9 章　应力状态与强度理论

9.1一点应力状态与单元体

先建立一个关键认识：同一个点，不同方向切，应力不同。第 2 章已经埋过伏笔——斜截面上的应力随角度 α 变化。所以只说「某点的应力」是不完整的，必须说清「在哪个方向上」的应力。

把受力构件中的一个点，假想放大成一个无限小的正六面体（单元体），这个单元体各个面上的应力，就完整描述了该点的应力状态。

为什么需要「应力状态」这个概念？因为判断破坏，不能只看某一个固定截面。材料破坏往往发生在最不利的那个方向。要找到最不利方向，就得先把一个点「所有方向」的应力都搞清楚——这就是应力状态分析的任务。

单元体怎么「取」——三步法

单元体不是随便画的，标准动作分三步：

1. 选点：通常选危险截面上的危险点（应力最大的点），如梁的上下边缘、圆轴表面、孔边角点；
2. 定方向：让单元体三对面分别平行于已知应力的截面（一般是横截面与两个纵截面），并标出已知应力——它们由前面各章的内力公式算出；
3. 查互等：切应力必须成对出现（见下面的互等定理），并按「正应力拉为正、切应力使单元体顺时针转为正」的符号规则标注。

第 2 步用到的「内力 → 应力」换算关系全部来自前面章节：拉压 σ=N/A（第 2 章）、扭转 τ=T/W_p（第 4 章）、弯曲 σ=M/W、τ=FS·S*/(I·b)（第 6、7 章）。取单元体本质上是把内力图翻译成一点的应力档案。

切应力互等定理：单元体的「对偶规则」

单元体上互相垂直的两个面，切应力必定等值、且共同指向（或背离）两面的棱边——这就是切应力互等定理。证明只要一个力矩方程：取出边长 dx、dy、dz 的微单元体，设左面有切应力 τ，它与右面的 τ′ 合成一对拉力；只有当上下两面也有切应力 τ″ 时，微体才不致绕竖直轴疯狂加速旋转。对 z 轴取矩 ΣM=0 给出 τ·(dy·dz)·dx=τ″·(dx·dz)·dy，消去体积即 τ=τ″。结论：单元体上独立的切应力分量比看上去少一半；纯剪切状态下四个面的 τ 大小全相等。

为什么三对面就「够了」

可能有人疑惑：斜截面有无数个方向，凭什么六个量（最多三个正应力加三对切应力）就描述完了？答案是平衡：从单元体上任意斜切一刀，取出的楔形分离体上，斜截面应力必须与已知的三对面应力满足平衡方程——两个投影方程恰好解出斜截面上的正应力与切应力。所以三对面是「全息底片」，任意方向都是它的投影。这也是「应力状态」一词的含义：不是某个方向的应力，而是一点受力信息的完整集合。

应力状态的三个类别

• 单向应力状态：只有一个方向有正应力（拉压直杆）；
• 平面（二向）应力状态：应力集中在一个平面内（扭转轴表面、横力弯曲梁的上下表面点）；
• 三向应力状态：三个方向都有正应力（厚壁容器内壁、齿轮接触点、地层深处岩石）。

类别不同，破坏方式也不同——这正是后面强度理论要分别对待的原因。

工程现场　工程师看图纸时脑子里就在「取单元体」：机身蒙皮与桁条连接处的铆钉孔边、起落架活塞杆的截面突变处、发动机安装节的焊缝根部，都是应力状态复杂的危险点。画对单元体是强度校核的第一步——单元体画错，后面全错。

从截面到点：本课程方法的三级跳　回顾整个课程的分析层级：第一级，截面法（第 1 章）——「哪个截面」最危险，答案是内力；第二级，应力分布公式（第 2~7 章）——「截面上哪里」最危险，答案是横截面上的应力分布；第三级，单元体（本章）——「这个点上、沿哪个方向」最危险，答案是主应力与相当应力。三级跳一层比一层细，工程事故往往就藏在最后一级：横截面上看起来「安全」的点，斜方向上可能早已超限。

9.2平面应力状态分析

工程中很多构件，可以简化为平面应力状态：只在「一个平面内」有应力（如薄壁圆筒、梁的表面点）。设单元体上已知正应力 σ_x、σ_y 和切应力 τ，求与 x 轴成 α 角的斜截面上的应力。通过斜截面的平衡，可推出：

这组公式（斜截面应力公式）是本章的分析基础。它告诉我们：随 α 变化，斜截面上的应力会连续变化，其中一定有某个方向「正应力最大」、某个方向「切应力最大」。

公式从哪来：楔形分离体的两个平衡方程

斜截面应力公式不是背出来的，是从平衡推出来的。做法：沿倾角 α 的斜截面把单元体切成楔形三棱柱，斜面面积为 dA，则左右两面的面积分别是 dA·cos α 与 dA·sin α。对分离体列力平衡（斜面法线方向 n 与切线方向 t 各投影一次），得到两个方程，整理即得：

注意方程里出现的是 2α 而不是 α——截面每转一度，应力按「双倍角度」的简谐规律变化，转 180° 应力回到原值（同一截面），转 90° 应力变到互补面。推导细节（楔形两直角面上切应力分量的投影）在教材正式版可展开，核心只有一句话：平衡，没有魔法。

把推导补完整：设楔形斜面面积为 dA，则两个直角面面积分别为 dA·cos α 与 dA·sin α，其上的力各乘以自己的面积。斜面法线 n 方向投影：σ_αdA=σ_xdA·cos α·cos α+σ_ydA·sin α·sin α+τdA·cos α·sin α+τdA·sin α·cos α，两边除 dA 并用倍角公式 cos²α=(1+cos2α)/2、sin²α=(1−cos2α)/2、2sin αcos α=sin2α 整理即得 σ_α 式；切线 t 方向投影同理得 τ_α 式。两个平衡方程、两行三角恒等变换，这就是全部。

用两个「必背特例」给公式校准：

• 单向拉伸 σ、α=45°：σ_α=σcos²α=σ/2、τ_α=(σ/2)sin2α=σ/2——45° 斜面上正应力与切应力各占一半，切应力恰好取最大值。低碳钢拉伸试件表面出现 45° 滑移线（屈服时最先「冒头」的痕迹），就是这 σ/2 的功劳；
• 纯剪切 τ、α=45°：σ_α=−τ·sin2α=−τ（代 α=45°、sin90°=1），τ_α=τ·cos2α=0——45° 面上切应力为零、正应力为 ±τ，正是主平面。铸铁圆轴扭转沿 45° 螺旋面拉断的谜底，公式里早就写好了。

三个立即可读出的推论

• 和不变：σ_α+σ_α+90°=σ_x+σ_y——任意两个互相垂直面上的正应力之和是常数，与转角无关；
• τ 反号：τ_α+90°=−τ_α——互相垂直面上的切应力等值反号（正是切应力互等定理的又一次现身）；
• 周期性：以 180° 为周期循环，α 与 α+180° 是同一个面。

应力圆「三要素」快速心算　工程手算时抓住三样东西就能复原整个圆：①圆心位置 σ_m=(σ_x+σ_y)/2（两个正应力的平均）；②半径 R=√[((σ_x−σ_y)/2)²+τ²]（恰等于最大切应力）；③倍角规则（截面转 α、圆上转 2α）。知道这三样，主应力 σ_m±R、最大切应力 R、任意斜截面应力都能在草稿纸上一分钟画出来——这是设计与审查会上「当场复核」的标准动作。

应力圆（莫尔圆）：把公式画成一张图

两个公式里都有 cos2α、sin2α，消去参数 2α 就得到一个圆的方程：σ_α 在水平轴、τ_α 在竖直轴，轨迹是圆心 ((σ_x+σ_y)/2, 0)、半径 R=√[((σ_x−σ_y)/2)²+τ²] 的圆——应力圆（Mohr 圆，1882 年由德国工程师莫尔提出）。它的价值在于三条「点面对应」规则：

1. 面 ↔ 点：单元体上每个截面，对应圆上一个点（该面的 σ、τ 坐标）；
2. 转角加倍：单元体上截面转过 α，圆上对应点沿同方向转过 2α；
3. 极值即主应力：圆与横轴的两个交点 = 最大、最小正应力（切应力为零 → 主应力）；圆的纵坐标最大值 = 最大切应力，恰好等于半径 R。

工程现场　「转 90° 看一面」不只是数学游戏：胶接结构、焊缝、复合材料的胶层抗剪强度很低，设计时要找出切应力最大的方向校核胶层——用应力圆一眼读出 τ_max 的方位角；脆性涂层裂纹的扩展方向总是垂直于最大拉应力方向，工程师利用这层「应力敏感漆」的裂纹图案反推主应力方向，就是应力圆思想的实物化。

9.3主应力与主平面

当斜截面的切应力等于零时，这个截面叫主平面，主平面上的正应力叫主应力。可以证明：任意应力状态下，总存在三个互相垂直的主平面，对应三个主应力，按大小记为 σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃。

对平面应力状态，主应力由下式求得：

其中 σ₁ 是最大主应力，σ₂ 是次大，第三主应力 σ₃ 在平面应力下可能为 0。

在最大切应力方向，最大切应力为：

这个「最大切应力 = 主应力差的一半」的结论，是第四强度理论和第三强度理论的核心依据。

主平面方位怎么定：极值条件 + 零切面，二合一

「正应力取极值的方向」可以严格求出来：对 σ_α(α) 求导并令其为零，dσ_α/dα=−(σ_x−σ_y)sin2α−2τ·cos2α=0，整理得

把这条件与切应力公式 τ_α=(σ_x−σ_y)/2·sin2α+τ·cos2α 对比：两式的分子分母完全成比例——也就是说，极值面上的切应力恰好为零。「正应力极值面」与「零切应力面」是同一组面，这就是主平面定义的来历，不是巧合而是极值条件的必然结果。tan2α₀ 给出相差 90° 的两个解 α₀、α₀+90°，分别对应 σ₁ 与 σ₃ 的作用面（哪个对应哪个，代回公式一验便知）。

平面应力状态的完整求解流程（三步）：

1. 算平均应力与半径：σ_m=(σ_x+σ_y)/2，R=√[((σ_x−σ_y)/2)²+τ²]；
2. 主应力：σ_a=σ_m+R、σ_b=σ_m−R，再按 σ₁≥σ₂≥σ₃ 排序（把 0 排进去！）；
3. 方位校验：tan2α₀=−2τ/(σ_x−σ_y) 得 α₀，任取一个解代回斜截面公式，看算出的是 σ₁ 还是 σ₃，另一个面自然相差 90°。

三向应力状态一瞥　三个主应力 σ₁、σ₂、σ₃ 都不为零时，任意斜截面的应力点落在三段两两相切的圆弧围成的区域内（三向应力圆）。工程上绝大多数问题只用到两个结论：最大切应力 τ_max=(σ₁−σ₃)/2 作用在平分 σ₁、σ₃ 方向的面上；最大正应力就是 σ₁。深孔压入配合、齿轮接触这类三向受压问题，在材料力学里点到为止，塑性力学再展开。

工程现场　主应力概念最漂亮的工程应用是主应力迹线：对结构每个点求出主方向，把相邻点的主方向连成曲线族，就得到两族互相正交的迹线。钢筋混凝土梁的受拉钢筋要顺着主拉应力迹线布置才不浪费；光弹性实验里等差线条纹直接显示主应力差，桥梁验收、压力容器分析都靠它「看见」应力。

在横力弯曲梁里，主应力迹线有明确的「长相」：跨中截面的上下边缘只有弯曲正应力，σ₁ 方向沿梁轴；中性轴上只有切应力，σ₁、σ₃ 与轴线成 ±45°；从边缘到中性轴，σ₁ 方向从 0° 连续过渡到 45°，连成一道道拱形曲线；σ₃ 迹线与之正交。钢筋混凝土梁底部受拉区除纵向主筋外还要配 45° 弯起钢筋、支座附近布置箍筋加密区，追根溯源都是在给 σ₁ 迹线「顺线布防」。

9.4广义胡克定律

第 1 章的单向胡克定律 σ=E·ε，只适用于「单向受力」。但当单元体沿三个方向都有正应力时，每个方向的正应变，不仅由该方向的正应力引起，还受另外两个方向的影响（泊松效应：一个方向被拉长，另外两个方向会「缩」）。

把三个方向的贡献叠加，就得到广义胡克定律：

（另两个方向 ε_y、ε_z 形式完全相同，循环替换下标即可。）其中 μ 是泊松比。

公式从哪来：泊松效应的三向叠加

单向拉压时，纵向应力 σ 引起纵向应变 σ/E，同时通过泊松效应在横向引起 −μ·σ/E。三向应力状态里，每个方向的正应变是「自己拉自己 + 另外两个方向通过泊松效应压过来」的代数和：

这就是广义胡克定律。推导的全部内容就是：单向本构 + 泊松效应 + 叠加原理——第 2 章的老朋友换了个更大的舞台。注意它只对各向同性线弹性材料成立，并且公式里没有切应力项，不是因为切应力不存在，而是切应力只产生切应变与畸变，不产生正应变。

体积改变与形状改变：一个关键拆分

把三个方向的正应变相加得体积应变 θ=ε_x+ε_y+ε_z，代入广义胡克定律：

两个重要结论：①体积改变只取决于三个主应力之和（静水应力），与各方向应力怎么「分配」无关；②μ<0.5 保证材料受静水压缩时体积减小而不是增大——橡胶 μ≈0.5 近似不可压缩，受压时几乎全部变形都是形状改变；软木 μ≈0，压缩时几乎不横向膨胀（瓶塞用软木做的力学理由）。

体积应变与「畸变」的拆分是强度理论的分水岭：静水应力只改变体积、不改变形状；偏斜应力（畸变部分）只改变形状、不改变体积。哪个部分控制屈服？第三、第四强度理论给出不同答案（见 9.5 节）。

附赠关系：G=E/2(1+μ)

对各向同性材料，三个弹性常数 E、G、μ 只有两个独立：G=E/(2(1+μ))。钢材 E=200 GPa、μ=0.3，则 G=200/(2×1.3)=76.9 GPa——与手册值一致。下次查不到 G 时不用慌，能查到 E 和 μ 就等于查到了。

工程现场　应变片是「反向使用」广义胡克定律的传感器：电阻片贴在测点，感受线应变，通过公式反算应力。一个方向不够（平面应力两个未知应力分量），就贴三片：工程标准配置是 0°/45°/90° 的直角应变花，三片读数联立解出 σ_x、σ_y、τ，再走例题 3 流程得主应力。飞机结构疲劳试验的测点动辄上千片，全部建立在本节这组公式上。

9.5四大强度理论

前面的应力状态分析告诉我们「一点的应力有多复杂」。但回到最根本的问题：材料到底在什么条件下会破坏？不同的材料、不同的破坏方式，答案不同。于是人们提出了强度理论——关于「材料破坏原因」的假说。最常用的有四个：

这些理论的物理思想各是什么？这是理解的关键：

• 第一强度理论：认为破坏是「被拉断」的，只要最大拉应力超了极限就坏。对铸铁这类一拉就断的脆性材料吻合良好。
• 第三强度理论：认为塑性材料（钢）的屈服，本质是「切应力使晶粒滑移」。当最大切应力达到屈服切应力时就屈服。它抓住的是塑性变形的本质——滑移。
• 第四强度理论：更精细，认为屈服由「畸变能」（形状改变的能量，而非体积改变的能量）控制。它考虑了三向应力的综合作用，比第三理论更接近实验，但公式也更复杂。

使用强度理论时，先算出主应力 σ₁、σ₂、σ₃，代入相应理论求出相当应力 σ_r，再和许用应力比较：

相当应力 σ_r 的妙处在于：它把复杂的多向应力状态，「折算」成一个等效的单向应力，直接和单向拉伸测得的许用应力比，从而沿用我们熟悉的校核格式。

相当应力的「锚定」原则

四个理论最后都归结成一个数 σ_r（相当应力），与许用应力 [σ] 比较。但 [σ] 是单向拉伸试验测出来的，所以 σ_r 必须满足一条铁律：当复杂应力状态退化成单向拉伸（σ₂=σ₃=0）时，σ_r 必须等于 σ₁。四个理论的公式都自动满足这条——这就是「折算」的合法性来源。校核永远写成 σ_r≤[σ]，而不是拿 τ_max 去比 [σ]，原因就在这里。

四个理论逐一深化

• 第一理论（最大拉应力）：σ_r1=σ₁。机理：脆性材料沿最大拉应力面拉断，断口垂直于 σ₁ 方向。局限：只认拉、不认压——单向压缩时它预报 σ₁=0「不破坏」（错误，铸铁明明会压坏）；也不考虑 σ₂、σ₃ 的影响。
• 第二理论（最大伸长线应变）：σ_r2=σ₁−μ(σ₂+σ₃)。机理：认为拉断沿最大线应变方向发生——石料、混凝土受压时沿加载方向出现的纵向劈裂裂缝，恰是横向拉应变所致，这一现象只有第二理论能解释。如今单独使用较少，主要价值在「岩石类材料破坏机制」的注脚。
• 第三理论（最大切应力）：σ_r3=σ₁−σ₃。机理：塑性材料屈服时晶面沿滑移面滑移，滑移面正是最大切应力面（与 σ₁、σ₃ 方向成 45°）——金相观察与理论预言严丝合缝。优点：简单、偏安全；缺点：没考虑中间主应力 σ₂ 的贡献。
• 第四理论（畸变能）：σ_r4=√{½[(σ₁−σ₂)²+(σ₂−σ₃)²+(σ₃−σ₁)²]}。机理：把应变能拆成「体积改变能 + 形状改变能（畸变能）」（9.4 节的拆分在这里兑现！），屈服只由畸变能控制，静水应力部分不参与。它把 σ₂ 的贡献算进去了，与塑性材料实验吻合得比第三理论更好。

第三与第四谁更「省」　记两个事实：①恒有 σ_r4≤σ_r3（差值为 σ₂ 的贡献，σ₂ 靠近 σ₁ 或 σ₃ 时两者趋于相等，单向应力状态下完全相等）；②纯剪切状态（σ₂=0、σ₁=−σ₃=τ）差距最大：σ_r3=2τ 而 σ_r4=√3τ≈1.73τ，第四理论比第三理论省 13.4% 的「应力额度」——扭转轴按第四理论设计可以明显减小截面。工程上第三理论算出的截面总归更保守，第四理论在两向应力容器、管道、传动轴设计里能省真金白银。

拉压不等时怎么办——莫尔强度理论

铸铁、混凝土这类脆性材料抗压强度远高于抗拉强度（铸铁 [σ_t]:[σ_c]≈1:4），用第一理论（只看 σ₁）或第二理论都嫌粗糙。莫尔理论用不同应力圆的包络线拟合出判据，简化形式为：

纯剪切 τ 状态（σ₁=τ、σ₃=−τ）最能体现它与第一理论的差别：取铸铁 [σ_t]=45 MPa、[σ_c]=180 MPa、τ=40 MPa，第一理论给 σ_r1=τ=40≤45「安全」，莫尔理论给 σ_rm=40−(45/180)×(−40)=50>45「不安全」——实验证明铸铁纯剪切强度确实低于抗拉强度，莫尔理论赢。对拉压性能相同的材料（[σ_t]=[σ_c]），σ_rm=σ₁−σ₃，恰与第三理论合流——莫尔理论是「脆性版第三理论」的推广形态。

选型决策树　拿到任务按四问走：①破坏形式是屈服还是断裂？屈服（塑性材料）→ 第三/第四理论，常规设计优先第四（更贴合实验、省材料），重要构件可用第三（更保守）；②断裂（脆性材料）且拉压强度相近 → 第一理论；③脆性且抗拉抗压强度不等（铸铁、混凝土、岩石）→ 莫尔理论；④极端应力状态（尖锐裂纹尖端、三向等拉）→ 四个经典理论全部失效，进入断裂力学的领地。决策树的本质：先问破坏机理，再问材料属性，最后才问公式。

断口会说话：低碳钢与铸铁的扭转破坏

强度理论最直观的证据在断口。把两根同样尺寸的圆轴扭到破坏：

• 低碳钢（塑性）：断口平整，垂直于轴线（横截面）——沿最大切应力面剪断。纯剪切状态下最大切应力作用在横截面与纵截面（45° 方向才是主平面），而低碳钢的剪切屈服强度 τ_s≈(0.5~0.6)σ_s 先于拉伸强度达到，于是「还没来得及沿 45° 拉坏，先沿横截面剪坏了」。
• 铸铁（脆性）：断口是与轴线约成 45° 的螺旋面——沿最大拉应力面拉断。纯剪切状态下 σ₁=τ、σ₃=−τ，主平面在 45° 方向；铸铁抗拉强度远低于抗剪强度，于是「先被 45° 方向的拉应力拉裂」。

脆 or 塑：不是材料的「国籍」，是状态的「函数」

把「低碳钢用第三理论、铸铁用第一理论」背成死规则就危险了——材料的脆塑性会随应力状态与温度改变：铸铁在三向等压下表现出塑性；低碳钢在三向等拉（如螺纹根部、尖锐缺口内部）接近脆断；低温使钢种脆化（船体低温脆断曾造成大量海难）。选强度理论时的正确问法不是「这是什么材料」，而是「在这种应力状态、这个温度下，它会以哪种机制破坏」。

承上启下　本章武器库已经备齐：单元体 → 主应力 → 强度理论。第 10 章把这套流程用在「拉伸 + 弯曲 + 扭转同时发生」的真实构件上——组合变形的全部技术，就是「先拆解成基本变形、再合成应力状态、最后用相当应力校核」。