📖 人物：布莱兹·帕斯卡（Blaise Pascal） 17 世纪法国数学家、物理学家。他在流体静力学上的贡献就是这条「压强等值传递」的规律，后世用他的名字命名压强单位「帕斯卡（Pa）」。帕斯卡在流体研究里还第一次系统地理解了「压强」这个量的本质。
🎯 本章学习目标
- 理解静压强的两个基本特性（方向、大小），并知道它们从哪来。
- 从受力平衡推导出静力学基本方程 p = p₀ + ρgh，理解「压强只随深度变」的物理原因。
- 理解帕斯卡原理：密闭流体的压强如何「处处传递」。
- 掌握压强的测量方法（测压管、U 型管）与绝对压强/表压强/真空度的换算。
- 会求流体作用在平面和曲面上的总压力，理解压力体的含义，并推导出阿基米德浮力定律。
2.1静压强及其两个特性
静止流体里，没有相对运动，也就没有粘性切应力（因为 τ = μ(du/dy)，而 du/dy = 0）。于是流体内部唯一的应力就是压强（压应力）。压强定义为「单位面积上受到的垂直压力」：
p = F / A
单位是帕斯卡 Pa（1 Pa = 1 N/m²）。静压强有两个非常关键的特性：
特性一：方向总是垂直于作用面，并指向作用面
为什么？用反证法。假设流体在某个面上的压强有一个「平行于面」的分量（切向分量），那这个切向力就会让流体沿面滑动——但流体是静止的，矛盾。所以静止流体的压强只能是垂直的。又因为流体不能承受拉力（它没有抗拉骨架），压强只能指向作用面（即压力），不能是「拉」。
特性二：同一点各方向的压强大小相等
这是关键性质：在流体的同一点，无论你取什么方向的面，压强的大小都一样（只是方向垂直于各自的面）。它也来自「静止」这个前提——如果各方向压强不等，取一个微小的楔形流体元，各方向的压力就合力不为零，流体会被推着动，矛盾。
核心结论 静止流体的压强是各向同性的：同一点上，压强只有大小、没有固定方向，对任何方向的面都垂直作用、大小相同。所以压强是个标量（一个数），而不是矢量。
记住这个结论，它简化了一切：压强只要说「某点压强多大」就够了，不用指定方向。
微元证明：各向同性是怎么「证」出来的
「各方向压强相等」不靠直觉，可以用一个楔形微元严格证出来。取一个顶角任意的小楔形，让它的两个直角面分别垂直于 x、y 轴，斜面与 x 轴成 α 角，厚度（垂直纸面）为 1。三个面上的压力分别为 px·dy、py·dx、pn·ds。静止，合力必须为零。沿 x 方向列平衡：
px·dy = pn·ds·sin α = pn·dy ⟹ px = pn
ds·sin α 恰好等于 dy，约掉即得 px = pn；同理沿 y 方向得 py = pn。楔形质量是三阶小量、重力是高阶小量，极限下不影响结论。于是任意方向的压强都等于坐标方向的压强——压强的「大小」与面的朝向彻底无关，各向同性得证。（重力项虽不影响「各向同性」，却决定压强随位置怎么变，这正是下一节的任务。）
📐 例题 1 水下同一点：朝向不同的面，受力各是多大？
湖水中深度 2 m 处取一点，过该点放三块小挡板：(a) 水平板、(b) 竖直板、(c) 倾角 45° 的斜板，面积均为 A = 0.05 m²。求每块板单面受到的水压力大小与方向，并画出指向。若汽车沉入 1 m 深的水下，车门（近似竖直平面，面积 A = 0.5 m²）中线深度约 1 m，推开它约需多大的力？
思路 静止流体中一点的压强只有一个值，由深度决定：p = ρgh；压力 = p·A，方向垂直指向板面。车门问题则用「平均压强 × 面积」估算（压强随深度线性分布，取中线深度即形心压强）。
解 p = 1000×9.8×2 = 19600 Pa ≈ 19.6 kPa。三块板所受压力大小同为 F = pA = 19600×0.05 = 980 N ≈ 0.98 kN，只是方向不同：水平板向上（下表面）或向下（上表面）、竖直板水平、斜板垂直于斜面——大小不变、方向各随其面。车门：pc = 1000×9.8×1 = 9800 Pa，F = 9800×0.5 = 4900 N，约半吨力。
答：三块板受力同为 0.98 kN，方向各垂直于自己的面；水下 1 m 的车门需约 4.9 kN 才能推开——相当于压着 500 kg 物体。 ⚠ 易错点：①「各向同性」说的是同一点的压强相同，不是「各个面上的力」相同——力还乘以各自的面积；②车门估算用形心压强，第 2.5 节会严格化。
工程应用：落水自救与「压强差」的威力 车辆落水后最初几十秒内，车内尚未大量进水，门外水深产生的压强把门死死顶住，普通人推不开——这就是例题里那半吨力。正确的处置是：趁车还没完全沉没先开窗或破窗（破侧窗四角而非前挡），等车内进水到内外水面接近、压强差消失后再开门。这条例题的真正考点是：静压强差只要存在，就会产生巨大的约束力；消灭压强差（内外水面齐平），力就消失。潜水员每下潜 10 m 增加约一个大气压，耳朵发疼就是压强差直接作用在鼓膜上的信号，需要捏鼻鼓气平衡中耳内外压强。
2.2静力学基本方程：压强随深度而变
现在回答核心问题：静止流体里，压强在空间里怎么分布？
从一个竖直液柱的受力平衡推导
在静止流体中取一个底面积为 A、高为 h 的竖直圆柱体（从自由液面往下数深度 h）。它受三方面的力：
- 上表面：自由液面处的压强 p₀ 产生的向下的压力，大小 p₀·A。
- 下表面：深度 h 处的压强 p 产生的向上的压力，大小 p·A。
- 重力：液柱自身重量，大小 ρg·(A·h)，方向向下。
圆柱体侧面受到的压力都是水平的、两两抵消。因为流体静止，竖直方向合力为零（向上为正）：
p·A − p₀·A − ρg·A·h = 0
两边约去 A，整理得：
静力学基本方程 p = p₀ + ρgh（式中 h 为从自由液面向下的深度）
这个公式的物理意义
它告诉我们三件重要的事：
- 压强只随深度变，与水平位置无关：同一深度（同一水平面上）压强处处相等。这就是「连通器里水面相平」的原因。
- 压强随深度线性增加：每往下 1 米，压强增加 ρg ≈ 9800 Pa（水）。潜水越深，耳朵越疼，就是这个线性增加的压强在压耳膜。
- 自由液面上的压强 p₀ 会「原样」叠加到所有深度：液面上加多大压强，液体内每一点都加多大压强。这正是下一节帕斯卡原理的内容。
用「高度水柱」来表示压强也很直观：因为 p = ρgh，一个压强等价于「多高的该流体柱产生的压强」。比如 1 个标准大气压（101325 Pa）约等于 10.3 米水柱、或约 760 毫米水银柱（这就是气压计用「毫米汞柱」的原因）。
微分形式：dp = −ρg·dz 与「等压面」
把「每下降一个薄层 dz，压强增加一层液体的重量」写成微分关系（z 轴向上）：
dp = −ρg dz， 即 dp/dz = −ρg
负号说明 z 升高、p 降低。对不可压缩均质流体积分，立刻回到 p = p₀ + ρgh。微分形式的价值在于它对任意形状的容器都成立——容器弯弯曲曲没关系，压强只关心「自己在液面下方多深」，与水平位置无关、与容器形状无关。这一条「只认深度」的性质，是所有静压计算的第一钥匙。
由 dp = 0（等压面）立即得 dz = 0：静止重力流体中的等压面是水平面。反过来用要注意三个前提同时成立：①同一连续流体内部；②流体静止；③只有重力一种体积力。三个条件缺一不可——U 型管里不同液体之间「同一水平面」压强可以不同（s2.4 讲怎么穿过两种液体的界面找等压面）；加速运动的容器里等压面会倾斜（第 2 章末思考题会再遇到）。
「找等压面」是静力学解题的通用套路：在同一根连通的液柱上，从已知点出发，凡同种液体、同一水平面处压强必相等；穿过不同液体的界面时，压强相等发生在「同一液体内部」——这句话是后面所有测压管、U 型管计算的全部秘密。
📐 例题 2 抽了真空的水箱：底部还低于大气压吗？
一封闭水箱液面上方抽真空，真空度 20 kPa；水深 2 m。求液面与箱底的绝对压强、表压强（当地大气压取 101.325 kPa）。
思路 真空度 = 大气压 − 绝对压强 → 先还原液面绝对压强；再用 p = p₀ + ρgh 下潜；最后统一换算表压。
解 液面：p₀,绝 = 101325 − 20000 = 81325 Pa ≈ 81.3 kPa。箱底：pb = p₀ + ρgh = 81325 + 1000×9.8×2 = 81325 + 19600 = 100925 Pa ≈ 100.9 kPa。表压：液面为 −20 kPa（即真空度 20 kPa）；箱底为 100925 − 101325 = −400 Pa，真空度 0.4 kPa。
答：箱底绝对压强约 100.9 kPa，仍比大气压低 0.4 kPa——下潜 2 m「挣回」的压强刚好没填平 20 kPa 的真空（2 m 水柱只能提供 19.6 kPa）。 ⚠ 易错点：①绝对压强永远 ≥ 0，而表压可正可负、真空度只对负表压区间有意义；②别把「真空度 20 kPa」直接当 p₀ 用——它是差值，必须先加上/减去大气压换算回绝对值。
这套「绝对/表压/真空度」的换算在工程现场天天用：水泵吸入口的真空度决定它能「吸」多高的水（理论极限约 10.3 m，实际因汽蚀远低于此，第 8 章展开）；压力容器铭牌标的是表压，热力学计算却要绝压——混用两种基准是静力学计算里排名第一的低级错误，养成习惯：拿到任何压强先问一句「这是绝压还是表压？」
从静压到「高度」：气压计与高度表
静力学基本方程反过来用，就把压强变成「量高」的工具。水银气压计：一根倒插在水银槽里的真空管，水银柱被大气压托住，柱高恰好 760 mm——「一个大气压 = 760 mmHg」就是从这根管子里量出来的。高度表：大气压强随海拔单调下降（标准大气：海平面 101.3 kPa，3000 m 约 70 kPa，拉萨海拔约 3650 m 处约 65 kPa），航空高度表本质上就是一支气压计——测当地静压，再按标准大气表折算成高度读数。客舱增压：客机巡航在 10~12 km，外界压强只有 26~22 kPa，人无法生存；增压系统把舱内维持在与约 2400 m 海拔相当的水平（约 75 kPa），乘客感觉「像在高原山城」而不是「在真空中」——起降时耳朵发胀，就是舱压随高度被程序化调节时，中耳内外压强差在起作用。
还有一个反向的应用：水泵的「扬程」。水泵铭牌上不写「能产生多少帕」，而写「扬程 H = 25 m」这类水柱高度——因为 p = ρgh，一段 25 m 的水柱对应的压强 ρgH = 9800×25 = 245 kPa 是水到渠成的换算。「用液柱高度说压强」不是偷懒，而是让工程师立刻看出这台泵能不能把水送上 25 m 高的楼顶。
🧠 一句话记忆 静止流体里压强「只认深度」：p = p₀ + ρgh。同一水平面压强相等，越深越大，液面压强层层叠加。
2.3帕斯卡原理
由 p = p₀ + ρgh 直接看出：如果我在密闭容器的液面上施加一个附加压强 Δp（比如往下压一个活塞），那么液体内每一点的压强都同时增加 Δp，无论这点在哪个位置、多深。这就是帕斯卡原理。
帕斯卡原理 在密闭容器内的静止流体上，任一点受到的外加压强，会大小不变地传到流体的每一点。
液压机：帕斯卡原理最著名的应用
液压千斤顶正是利用这一点「四两拨千斤」。一个 U 形密闭油路，左边小活塞面积 A₁，右边大活塞面积 A₂。在小活塞上用力 F₁，产生压强 Δp = F₁/A₁。这个压强无损地传到右边大活塞，大活塞受到的推力：
F₂ = Δp·A₂ = F₁ · (A₂/A₁)
因为 A₂/A₁ 可以很大（比如 100 倍），所以小力放大成大力。但天下没有免费的午餐：能量守恒要求「力 × 位移」不变，力放大 100 倍，小活塞就要移动 100 倍的位移。所以液压机是「用力换距离」——大力、小行程。
📐 例题 3 液压机：力放大 100 倍的代价
液压机小活塞直径 d₁ = 20 mm，大活塞直径 d₂ = 200 mm，小活塞上加力 F₁ = 200 N，液体不可压缩。(a) 系统内压强多大？(b) 大活塞能顶起多重的物体？(c) 大活塞升高 1 mm，小活塞需压下多少？此过程做的功各是多少？
思路 帕斯卡原理：压强处处相等。p = F₁/A₁ → F₂ = pA₂ = F₁·(A₂/A₁)；不可压缩 → 体积守恒 s₁A₁ = s₂A₂；功 = 力×位移。
解 (a) A₁ = π/4×(0.02)² = 3.14×10⁻⁴ m²，p = 200/3.14×10⁻⁴ ≈ 6.37×10⁵ Pa ≈ 0.64 MPa。(b) A₂ = π/4×(0.2)² = 3.14×10⁻² m² = 100A₁，F₂ = pA₂ = 20000 N = 20 kN——顶起约 2 吨。(c) s₁ = s₂·(A₂/A₁) = 1 mm×100 = 100 mm。做功：小活塞 W₁ = 200 N×0.1 m = 20 J；大活塞 W₂ = 20000 N×0.001 m = 20 J——分毫不差。
答：p ≈ 0.64 MPa，F₂ = 20 kN，小活塞须压下 100 mm；两端做功同为 20 J。 ⚠ 易错点：力放大 100 倍时行程必然缩小 100 倍，「省力不省功」在液压机上一分不差地兑现。别把 F₂ 算成 F₁×(d₂/d₁)——面积比是直径比的平方。
为什么必须是「密闭」？
帕斯卡原理的条件「密闭」值得推敲：往开口杯里压一个活塞，液面会自由上升，压强确实也传下去了，但「处处等值」被液面移动破坏——容器各点压强的增量取决于各自的新深度，直到流动停止、重新静止为止。所谓「密闭」，本质是边界不容许流体整体搬走：外加压强没有出口可泄，只能原封不动地压在每一点上。真实液压系统里还有第二层保障——液体压缩性极小，压强的传递几乎「瞬间」完成（压力波以液体声速约上千米每秒传播），这正是液压传动「快而硬」的物理基础。
工程应用俯拾皆是：汽车液压刹车——踏板推动主缸（小面积），制动液把压强等值传到四个轮缸（大面积活塞）夹紧刹车盘，脚上几十牛变成盘上千牛的夹紧力；液压作动筒——典型民航与工程机械液压系统工作压强约 20~28 MPa，一个直径 36 mm 的活塞（A ≈ 10 cm² = 10⁻³ m²）就能输出 F = pA = 21×10⁶×10⁻³ = 21 kN 的推力，大致相当于两吨物体压在活塞上——用一根小油管就「牵着」巨大的舵面或机械臂，这是液压系统成为飞行器与工程机械「肌肉」的原因。真实的系统有摩擦与泄漏，输出功小于输入功（机械效率通常 80%~90%），但「压强等值传递」这条原理本身永远成立。
顺带把液压系统的全貌补齐：一套典型的液压系统由四类元件构成——泵（把机械能转成液压能，是「心脏」）、阀（控制方向、压强、流量，是「大脑的手」）、缸或马达（把液压能转回机械能，是「肌肉」）、以及油箱、管路、滤油器等辅件。工作介质液压油身兼三职：传递压强、润滑运动副、带走摩擦热——粘度、压缩性、润滑性这三种流体物性，在同一个系统里同时登台（分别对应第 1 章的 1.4、1.5 节）。
2.4压强的表示与测量
压强有几种「起算基准」，容易混淆，务必分清：
- 绝对压强：以绝对真空为基准。最小是 0。
- 表压强（相对压强）：以当地大气压 pₐ 为基准。表压强 = 绝对压强 − 大气压。压力表读出来的就是表压强。
- 真空度：当绝对压强低于大气压时，大气压 − 绝对压强 就是真空度，表示「比大气压低了多少」。
关系是：绝对压强 = 大气压 + 表压强（绝对压强高于大气压时）；真空度 = 大气压 − 绝对压强（绝对压强低于大气压时）。一个标准大气压 pₐ ≈ 101325 Pa ≈ 10.3 m 水柱 ≈ 760 mmHg。
| 单位 | 换算值 | 出场场合 |
|---|---|---|
| 1 Pa | 1 N/m² | SI 基本单位 |
| 1 bar | = 100 kPa ≈ 0.987 atm | 欧洲工程图纸、液压 |
| 1 atm（标准大气压） | = 101325 Pa | 物理与气象 |
| 1 at（工程大气压） | = 98000 Pa | 老教材、锅炉行业 |
| 1 mH₂O（米水柱） | ≈ 9800 Pa | 水泵扬程、通风 |
| 1 mmHg（毫米汞柱） | = 133.3 Pa | 血压计、气压计 |
| 1 psi | ≈ 6895 Pa | 英美图纸、轮胎气压 |
好用的整数锚点：一个标准大气压 ≈ 10.33 m 水柱 ≈ 760 mmHg ≈ 101.3 kPa ≈ 1 bar（差 1.3%）。记住「10 m 水柱 ≈ 1 个大气压」，现场估算屡试不爽——10 m 深的水压是 2 个绝对大气压、但只有 1 个表压。
测量：测压管与 U 型管
测压管：一根透明管竖直接在要测的点上，管内液柱上升的高度 h 直接给出该点的表压强 p = ρgh。简单直观，但只能测正压、且 h 不能太高。
U 型管（差压计）：一根弯成 U 形的管，里面装水银等密度较大的液体，两端分别接两个待测点。根据两臂液面高度差 Δh 和管中液体密度，可以算出两点的压强差。它常用来测「两点压差」或「某点的表压强/真空度」。
📐 例题 4 U 型水银差压计：找等压面的完整演练
一水平水管两点各接一取压孔，经导压管接到 U 型水银差压计（ρ汞 = 13600 kg/m³）两端，读得水银面高度差 Δh = 50 mm，且水银面以上导压管中充满水（ρ水 = 1000 kg/m³）。求两点压差，并判断哪一点压强大。
思路 三步套路：①过水银的低液面作水平线（同种液体、静止 → 等压面）；②沿两侧液柱分别写出两测点压强到该等压面的表达式；③两式相等解出压差。
解 设低汞面在等压线上。左路（接点 1）：p₁ + ρ水g·a = p等（a 为点 1 到等压线的水柱高）；右路（接点 2）：p₂ + ρ水g·(a + Δh) = p等。两式相减得 p₁ − p₂ = (ρ汞 − ρ水)g·Δh？——注意从等压线再往下走一步：右侧等压面下方汞柱比左侧高 Δh，严格推导给出 p₁ − p₂ = (ρ汞 − ρ水)gΔh = (13600 − 1000)×9.8×0.05 ≈ 6174 Pa ≈ 6.2 kPa。
验算直觉 若管中改充水银上方为空气（ρ 忽略），则 p₁ − p₂ = ρ汞gΔh = 13600×9.8×0.05 ≈ 6.66 kPa；两结果之差正是导压管里那段「水柱」的修正。水银差压计的妙处：50 mm 的汞柱就能「称出」6 kPa 的压差，量程小而灵敏。
答：p₁ − p₂ ≈ 6.17 kPa，汞面较低一侧（点 1）压强大。 ⚠ 易错点：①等压面必须画在同一种液体内部，画到两种液体交界面上会错；②密度差用 (ρ汞−ρ水) 而不是 ρ汞——导压管里的水也压在汞柱上；③单位统一用 m（50 mm = 0.05 m）。
测压管与 U 型管合称「液柱式测压计」，是压强测量的原理级工具；工程上更常用的是把压强转成电信号的压差传感器（应变式、压阻式），风洞与发动机试验台上成百上千的测点靠「压力扫描阀」轮流巡检。但标定这些传感器的基准，最终还是回到液柱——原理永远是最硬的标尺。测压的下一步是测速度：把静压与「滞止压」同时测出来，两者之差就能算流速，那是第 5 章伯努利方程的皮托管故事。
再补一件最常见的仪表：弹簧管（布尔登管）压力表。它的敏感元件是一根弯成弧形、截面为扁椭圆的空心金属管，一端封口接指针机构。管内通入被测压强（表压）后，椭圆截面在内压下有变圆的趋势，弯管随之微微「伸直」，牵动扇形齿轮放大成指针偏转。它结构简单、量程宽，工厂里绝大多数「压力表」都是它——读数都是表压；刻度盘下缘标注的精度等级（如 1.6 级）表示满量程误差的百分数。
2.5平面上的静水总压力
工程上经常要算「流体压在墙上、闸门上的总力有多大、作用在哪」。这是流体静力学最有用的计算。
总压力的大小
考虑一个竖直（或倾斜）的平面，面积 A，浸在液体中。面上各点深度不同、压强不同（p = ρgh），要积分求和。结果是：
P = ρg·hc·A = pc·A
其中 hc 是平面形心（几何中心）的淹没深度，pc 是形心处的压强。总压力 = 形心处的压强 × 面积——公式意外地简单。
压力中心：总压力作用在哪
总压力不是作用在形心，而是作用在一个更靠下的点——压力中心。原因是压强随深度线性增大，所以「压强分布的合力」偏向深的一侧。压力中心的位置比形心更靠下（更靠近液面下方）。压力中心的深度 yD 满足：
yD = yc + Ic / (yc·A)
其中 yc 是形心到自由液面（沿面方向）的距离，Ic 是面积关于过形心轴的惯性矩。因为 Ic/(ycA) > 0，所以压力中心总在形心之下。
从积分看「形心压强 × 面积」
总压力公式 P = ρg·hc·A 不是巧合，是对压强分布积分的必然结果。取面积微元 dA，其压强 p = ρg·y·sin α（y 沿壁面从液面量起，α 为壁面与液面夹角；y·sin α 正是微元的深度）。总压力：
P = ∫ p dA = ρg sin α ∫ y dA = ρg sin α · yc · A = ρg hc A
其中 ∫y dA = ycA 正是「面积对液面线的静矩」——形心的定义。压强线性分布的合力必然过「分布图形的形心」，这是数学送的结果，不是流体力学的特殊约定。
再看作用点。对液面线取矩：P·yD = ∫p·y dA = ρg sin α·I₀（I₀ 为面积对液面线的惯性矩）。代入平行移轴定理 I₀ = Ic + A·yc²，与 P = ρg yc sin α·A 联立：
yD = yc + Ic / (yc·A)
附加项恒正——压力中心永远在形心下方。物理原因：压强分布是「上小下大」的三角形类图形，其合力自然偏向下部。Ic/(ycA) 这个偏移量告诉我们：闸门越「高瘦」（Ic 大）、越贴着液面（yc 小），压力中心偏得越多。
📐 例题 5 矩形竖直闸门：总压力与压力中心
矩形竖直闸门宽 b = 2 m、高 H = 3 m，顶边在水面下 2 m。求总压力大小、压力中心深度，及压力中心到形心的偏移量。
思路 竖直壁面 sin α = 1，y = 深度。先算形心深度 hc 与面积 A，得 P；再用 yD = yc + Ic/(ycA)，矩形 Ic = bH³/12。
解 形心深度 hc = 2 + 3/2 = 3.5 m；A = 2×3 = 6 m²。P = ρg·hc·A = 9800×3.5×6 = 205800 N ≈ 206 kN（相当于 21 吨重物压在门上）。Ic = 2×3³/12 = 4.5 m⁴。yD = 3.5 + 4.5/(3.5×6) = 3.5 + 0.214 = 3.71 m。偏移量 0.214 m，压力中心距闸门底 5 − 3.71 = 1.29 m。
答：P ≈ 206 kN；压力中心在水面下 3.71 m 处，比形心低 0.214 m，距门底 1.29 m。 ⚠ 易错点：① hc 是形心的深度，别拿顶边或底边深度代入；②偏移项 Ic/(ycA) 用的 yc 是沿壁面从液面量起的形心距离——竖直壁时恰好等于深度，倾斜壁时二者不同（yc 沿斜面量、hc 沿竖直量）。
这个数字给工程直觉：一扇 2×3 m 的闸门挡 2~5 m 深的水，就要吃两百千牛——两百多吨推力的闸门启闭系统（卷扬机、液压启闭机、丝杠）都必须按压力中心的位置设计受力，且提升闸门时还要克服止水橡胶的摩擦。重力坝做成上窄下宽的三角形断面，同样是在「压强随深度增大」这根指挥棒下的最优截面：让坝体自重的抗倾力矩追着水压力的倾覆力矩增长。
随堂快算（倾斜壁）：同一扇 1 m×2 m 的矩形板改为与水面成 30° 的斜置闸门，顶边仍在水下 0.5 m。沿斜面量：顶边到液面距离 = 0.5/sin30° = 1 m，形心 yc = 1 + 2/2 = 2 m；竖直深度 hc = yc·sin30° = 1 m。总压力 P = ρg·hc·A = 9800×1×2 = 19.6 kN；压力中心 yD = 2 + (1×2³/12)/(2×2) = 2.17 m（沿斜面）。同样的「形心压强×面积」，只是把「深度」与「斜距」分清即可。
🧠 一句话记忆 总压力大小 = 形心压强 × 面积；作用点（压力中心）总在形心下方。所以水坝、闸门最吃力的地方偏下，工程上要重点加固下半段。
2.6曲面上的总压力与压力体
如果受压面是曲面（比如水坝的弧形闸门、球形容器壁），压强方向各处不同，不能简单相加。办法是分解成水平和竖直两个方向分别求：
- 水平分力 Px：等于该曲面在竖直平面上的投影面积所受的总压力（也就是把它当作一个竖直平板来算）。
- 竖直分力 Pz：等于「压力体」里流体的重量。
什么是压力体？
压力体是一个想象出来的「体积」：它由受压曲面、自由液面（或自由液面的延伸面）、以及从曲面边界向自由液面作的竖直投影面三者围成。这个体积里装满流体的话，流体的重量就是曲面所受的竖直总压力。
关键是要判断方向：实压力体（压力体内确实有流体）竖直分力向下；虚压力体（压力体在曲面上方、是空的）竖直分力向上。判断方法：想象给压力体装满水，这「水」压向曲面的方向就是竖直分力的方向。
曲面总压力的合力就是水平分力和竖直分力的矢量合成：P = √(Px² + Pz²)。
📐 例题 6 四分之一圆弧闸门：水平分力 + 压力体
弧形闸门为四分之一圆柱面，宽 b = 4 m（垂直纸面），半径 R = 2 m，圆心 O 与水面同高，闸门可绕过 O 的水平轴转动；水在门的一侧，门顶恰在水面处、门底在水下 R 处。求总压力的大小、方向，并说明铰链放在 O 处有什么好处。
思路 曲面 → 分解：Px 用竖直投影面（宽 b、高 R 的矩形）算；Pz 用压力体（四分之一圆面积 × b）；再合成。
解 水平分力：投影面 Ax = bR = 8 m²，形心深度 R/2 = 1 m，Px = ρg·(R/2)·bR = 9800×1×8 = 78400 N ≈ 78.4 kN。竖直分力：压力体 = 四分之一圆面积 × 宽 = (πR²/4)·b = 3.14×4 = 12.57 m³（流体在曲面上方，为实压力体，方向向下），Pz = ρgV = 9800×12.57 ≈ 123100 N ≈ 123.1 kN。合成：P = √(78.4² + 123.1²) ≈ 146 kN；方向：与水平成 atan(123.1/78.4) ≈ 57.5°，斜向下。
答：P ≈ 146 kN，沿与水平约 57.5° 斜向下。由于每点压强都垂直指向圆柱面、延长线过圆心 O，总压力的作用线也必过 O——把转轴铰链放在 O，水压力对轴几乎不产生力矩，开关门只需克服轴承摩擦与止水阻力，启闭机功率大幅降低。这是弧形闸门在水利工程中长盛不衰的原因。 ⚠ 易错点：① Px 的形心深度是投影面形心的深度（R/2），不是曲面最低点深度；②压力体体积别忘乘宽度 b；③「合力过圆心」只对圆弧面成立。
辨析：压力体是「几何构造」，与那里有没有真实液体无关 压力体由曲面、液面（及其延伸面）、竖直投影面纯几何地围出。区域里真有水（实压力体），Pz 向下；区域里没水（虚压力体，如桥墩底面、船体外板、涵洞顶盖），Pz 反而向上——等于把「想象中装满压力体的水」的重量，按「压向曲面」的方向安放。判断实虚只有一个动作：看真实液体在曲面的哪一侧。做题时先画压力体、再标方向，比背口诀可靠。
2.7浮力：阿基米德原理
把上一节「曲面总压力」的思想用到一个完全浸没（或漂浮）的物体上，就自然得到浮力——这是流体静力学最优雅的结论之一。
从压强差推导浮力
一个物体浸在流体中，它表面每一点都受到流体的静压强。物体侧面的压强左右对称、相互抵消；但上下表面因为深度不同，压强不同：下表面更深、压强更大，于是产生一个净向上的力——这就是浮力。
定量算：上下表面的压强差乘以面积，积分后正好等于「物体排开的流体的重量」：
阿基米德原理 浸在流体中的物体所受的浮力，大小等于它所排开的流体的重量，方向竖直向上。即 F浮 = ρ流体·g·V排。
浮力的物理本质
注意：浮力不是一个独立的「新力」，它本质就是流体静压强在物体表面上的合力。压强只随深度变（p = ρgh），物体上下有深度差，压强差就「自动」产生浮力。所以浮力不需要流体「有意识地往上顶」，它只是 p = ρgh 的自然结果。
由浮力和重力的大小关系，可以直接判断物体沉浮：
- 物体密度 < 流体密度 → 浮力 > 重力 → 上浮（漂浮）。
- 物体密度 = 流体密度 → 悬浮（任意深度平衡）。
- 物体密度 > 流体密度 → 下沉。
📐 例题 7 浮筒的吃水深度
一圆柱形浮筒直径 d = 1 m、高 H = 1.2 m、质量 m = 300 kg，竖直漂浮在海水（ρ = 1025 kg/m³）中。求吃水深度 h 与干舷（露出水面部分），并校核它是否会沉没。
思路 漂浮平衡：重力 = 浮力。mg = ρ海gV排，V排 = A·h（A 为筒截面积）。
解 V排 = m/ρ海 = 300/1025 ≈ 0.293 m³。A = π/4×1² ≈ 0.785 m²。h = 0.293/0.785 ≈ 0.37 m；干舷 = 1.2 − 0.37 = 0.83 m。校核：全浸没时最大浮力 Fmax = ρg·A·H = 1025×9.8×0.942 ≈ 9470 N，远大于重力 mg = 2940 N——储备浮力充足（全浸没时净向上力还有约 6.5 kN），不会沉。
答：吃水约 0.37 m，干舷 0.83 m；全浸没浮力约 9.47 kN > 重力 2.94 kN，浮筒安全。 ⚠ 易错点：① V排 只算浸没部分体积，漂浮时不是物体全体积；②海水的 1025 与淡水的 1000 别混；③「储备浮力」＝全浸没浮力 − 重力，是船舶安全性的核心指标。
📐 例题 8 称重法测密度：阿基米德原理当「秤」用
一金属零件在空气中用弹簧秤读得 G₁ = 49 N，完全浸没在水中读得 G₂ = 39.2 N。求零件体积与密度（g = 9.8 m/s²，忽略空气浮力与吊线影响）。
思路 水中「变轻」的量就是浮力：F浮 = G₁ − G₂；由 F浮 = ρ水gV 反解出 V，再算密度。
解 F浮 = 49 − 39.2 = 9.8 N。V = F浮/(ρ水g) = 9.8/(1000×9.8) = 1×10⁻³ m³（恰好 1 升）。质量 m = G₁/g = 49/9.8 = 5 kg。密度 ρ = m/V = 5/0.001 = 5000 kg/m³。
答：体积 1 L，密度 5000 kg/m³（介于钢铁 7850 与铝 2700 之间，提示是某种合金）。这就是「尤里卡」典故的现代版——阿基米德原理把一台弹簧秤升级成了密度计。 ⚠ 易错点：①水中读数是「视重」，别把它当浮力；浮力是两个读数之差；②零件必须完全浸没且不触底，触底时秤读数里混入支持力，浸没不完全则 V排 < V。
浮心与初步的稳定性
浮力的作用点叫浮心——它就是排开那部分流体体积的形心（不是物体重心！）。漂浮物的平衡不只看「浮力 = 重力」，还看两个力是否共线：重心 G 在浮心 B 正下方的构型，受扰侧倾后浮心位置随水下体积形状而移动，通常会产生一个把船「扶正」的恢复力矩——这就是为什么船舶可以稳定漂浮，即便整体重心高于浮心（具体判据是重心与「定倾中心」的相对位置，是船舶静力学的核心内容，这里先立概念）。半潜式平台故意把大浮力舱沉到水下深处、用细窄的立柱穿过水面，正是「重心低、水线面小」的稳定性设计。
再看气体：空气也是流体，一样有浮力。氦气球每立方米提供净升力约 (ρ空气 − ρ氦)g ≈ (1.225 − 0.169)×9.8 ≈ 10.3 N/m³——100 m³ 的氦气囊只能吊起约 105 kg，这解释了为什么飞艇必须做成几百米长的巨物，也解释了热气球为什么要「越大越好、越热越好」（热空气密度低，加热到 100℃ 时内外密度差约 0.3 kg/m³）。船舶侧面的「载重线」（普林索尔标志）则把浮力原理写进法律：吃水越深、储备浮力越小，不同海区、季节允许的最大吃水线都刻在船壳上。
工程应用：密度分层与「死海效应」 浮力公式的 ρ 是流体的密度，流体密度一变浮力就变。死海含盐量约 34%，水密度约 1240 kg/m³：人体密度约 985 kg/m³，在淡水里要浸没 98.5% 才能浮起，在死海里只需浸没约 79%——剩下五分之一的身体被浮力高高托出水面，人可以躺在水上看报。工程上的对应物叫密度分层：水库温跃层、江河淡咸水交汇处，上下水层密度不同，物体（潜艇、泥沙、污染物羽流）在穿越分层界面时浮力会突变；船舶从淡水驶入海水，吃水也会因 ρ 从 1000 变到 1025 而略微上浮（V排 = m/ρ 自动缩小约 2.4%）。
📖 典故：阿基米德的「尤里卡」 相传古希腊学者阿基米德在洗澡时，发现身体浸入水中会使水溢出，顿悟「排开的水量 = 浸入的体积」，从而想到用浮力鉴别王冠是否掺假，激动得光着身子跑上街喊「Eureka!」（我找到了）。这个典故未必完全真实，但它精准地传达了一个物理思想：浮力 = 排开流体的重量。
本章小结
- 静止流体的压强是各向同性的标量：同一点各方向压强相等，方向总垂直指向作用面。
- 静力学基本方程 p = p₀ + ρgh：压强只随深度线性增加，与水平位置无关；由液柱受力平衡推导。
- 帕斯卡原理：密闭流体的外加压强无损传到各点，液压机据此用小力换大力。
- 压强三种表示：绝对压强、表压强（=绝对−大气压）、真空度（=大气压−绝对），可用测压管、U 型管测量。
- 平面上总压力 P = ρg·hc·A，作用在形心下方的压力中心；曲面上分水平/竖直两方向求，竖直分力即压力体内流体重量。
- 浮力 = 排开流体的重量，本质是上下表面压强差，是 p=ρgh 的自然结果。
- 工程换算锚点：1 atm ≈ 10.33 m 水柱 ≈ 760 mmHg ≈ 101.3 kPa ≈ 1 bar；等压面三条件（连续同种流体、静止、仅重力）是 U 型管解法的钥匙；圆弧面总压力过圆心，铰链置心可省力。
读完本章，你应该能……
- 说出静压强的两个特性，并解释它们为何由「静止」推出。
- 独立推导 p = p₀ + ρgh，并解释「同一水平面压强相等」的原因。
- 用帕斯卡原理解释液压机，并说明「力放大、距离减小」的能量守恒。
- 分清绝对压强、表压强、真空度，会做三者换算。
- 计算平面总压力并说明压力中心为何在形心下方。
- 从压强差推导阿基米德浮力，并判断物体沉浮。
- 用楔形微元证明静压强各向同性，并说明重力项为何不影响该证明。
- 给出等压面三条件，并用「找等压面」套路完成一次 U 型差压计计算。
- 计算带真空度的封闭容器内某深度的绝对压强与表压强。
- 用压力体方法求曲面竖直分力，并判断实、虚压力体与方向。
- 用称重法（两次读数）测定物体密度，并校核漂浮体的吃水与储备浮力。
思考题
1. 为什么静止流体中同一点的压强「各方向相等」？如果不等会怎样？
提示：取一个微小楔形流体元，若各方向压强不等则合力不为零，流体会被推着动，违反「静止」前提。所以各方向压强必须相等。
2. 一个水坝，为什么坝底做得比坝顶厚得多？用 p = ρgh 解释。
提示：压强随深度线性增大，坝底受到的压强最大、总压力也最大，所以需要更厚的结构抵抗。
3. 液压机「省力」违反能量守恒吗？为什么？
提示：不违反。力放大多少倍，位移就缩小多少倍，功（力×位移）守恒。省力用距离来换。
4. 浮力为什么说「不是一种新的力」？它到底从哪来？
提示：浮力就是流体静压强在物体表面的合力，因上下表面深度差（压强差）而产生，本质是 p=ρgh 的结果，不是流体额外施加的独立力。
5. 水下 10 m 与 20 m 各有一个完全浸没的同一个小球，浮力哪个大？为什么？
提示：一样大。全浸没时 V排 相同，浮力 = ρgV排 与深度无关——深度增加同时抬高上下表面的压强，压强差不变。（但要注意：水若可压缩，深处 ρ 略增、浮力略增，见第 1 章例题 6 的 0.93%。）
6. 弧形闸门的铰链为什么常设在圆心处？设计上带来什么好处？
提示：圆弧面上每点压强都指向圆心，合力作用线过圆心。铰链放在圆心，水压力对转轴的力矩几乎为零，启闭只需克服摩擦与止水阻力——例题 6 的 146 kN 巨力被「力臂为零」化解了。
7. 表压 −20 kPa 的容器，其绝对压强与真空度各是多少？表压 −120 kPa 为什么不可能（设当地大气压 101.3 kPa）？
提示：绝对压强 = 101.3 − 20 = 81.3 kPa，真空度 = 20 kPa。若表压 −120 kPa，绝对压强将是 −18.7 kPa < 0——绝对压强不可能为负，「负表压」的极限是真空度 = 大气压。