第 11 章　可压缩流动初步

11.1什么时候必须考虑压缩性

流体受力时体积（密度）会改变，这就是第 1 章讲的压缩性。但工程上，我们常常「偷懒」地把液体、甚至低速气体当成不可压缩流体，因为密度变化很小。这个偷懒何时合法、何时失效？

经验判据是：当流速远小于声速（Ma ≲ 0.3）时，密度变化很小（通常小于 5%），可当作不可压缩流体；当流速接近或超过声速时，压缩性效应变得显著，不可压缩的假设就失效了。

为什么流速快、压缩性才重要？因为：流速高 → 动压大 → 压强沿流变化大 → 密度随压强变化大。反之，低速时压强变化小，密度几乎不变。这就是高速飞行、喷管、涡轮等场景必须用「可压缩流动」理论的原因。

深一步：5% 判据的定量来源

「Ma ≲ 0.3 时密度变化不超过 5%」不是拍脑袋，可以用滞止关系式直接算出来。一股气流被等熵减速到静止（撞驻点）的过程，是流动中密度变化最剧烈的情形——压强升到最高、密度也升到最高。滞止密度与当地密度之比由等熵关系给出：

把 Ma = 0.3 代入：(1 + 0.2×0.09)^2.5 = 1.018^2.5 ≈ 1.046——密度最大变化约 4.6%，正好落在 5% 以内。而 Ma = 0.8 时：1.128^2.5 ≈ 1.35，密度变化 35%；Ma = 1 时变化已达 58%。「0.3」这个阈值因此有清楚的物理含义：它是「密度变化跨过百分之五」的门槛。再补充一个轻量级推导：动压与当地静压之比为 ½ρv²/p = (γ/2)·Ma² = 0.7·Ma²，Ma = 0.3 时约 6%——压强的相对变化也正好在几个百分点量级，两条线索互相印证。

工程视角：两种「压缩性失效」场景

压缩性假设失效不只有「高速」一条路，还有第二条——瞬态。水几乎不可压缩（声速约 1480 m/s），管道里的水 Ma 通常不到 0.01；但快速关阀时，压强波以 1480 m/s 在管内往返，瞬间压强峰值可达正常工作压强的许多倍——这就是水锤现象，足以胀裂管道。它的本质是：在毫秒级的时间尺度上，水的「弹性」（压缩性）成了储能的主角。判据因此有两套：稳态看 Ma（0.3 门槛），瞬态看压力波传播时间与过程时间的相对快慢。看水锤防护设计（缓闭止回阀、调压塔、空气室），全是围绕「给压力波留缓冲时间」做文章。

还要澄清一个常见误解：「液体不可压缩、气体可压缩」的口语说法不严谨。严格说：任何流体都可压缩，只是在给定工况下密度变化是否值得计。空气在 5 m/s 的微风里流动，Ma = 0.015，压缩性完全可忽略——尽管它是气体；水在水锤的毫秒过程里，压缩性必须计入——尽管它是液体。判据永远是马赫数（或等效的时间尺度比），不是物质种类。

高铁隧道是「低速物体撞上压缩性」的一个意外现场。列车以 300 km/h（Ma ≈ 0.25）驶入隧道，车头推挤的空气无处可逃，只能在车前形成不断升压的压缩波，沿途叠加后可能在隧道出口以「微压波」形式炸出一声闷响。单看马赫数，0.25 完全在「不可压缩」安全区内；但隧道把三维问题压成一维，「被压缩的空气波」沿隧道反射、叠加，压缩性效应被几何放大——这是对「0.3 门槛」最好的补充注脚：马赫数判据管的是开放空间里的稳态流动，几何受限的瞬态过程要单独审。工程对策也直白：隧道口做喇叭形缓冲段、车头做长锥形，把「突然推挤」摊平成「缓慢压缩」。

压缩性在生活里也有「手感」：低速场景中，空气像一块「不可压缩的海绵」——你推它，它主要绕开你，而不缩自己；而隧道里的「耳压感」、长途大巴关门时耳朵的胀闷，都是密闭几何把压强变化攒起来超过百分之一的信号。人体对几个百分点的密度变化毫无察觉，这也是「不可压缩假设」好用的另一半原因——误差不仅低于 5% 的工程门槛，也常常低于感知阈值。至于怎么「看见」压缩性效应：实验室用纹影法，气体密度变化会改变折射率，把激波、膨胀波拍成可见的明暗图；数值仿真则直接输出密度云图，激波表现为一道密度陡跳的窄带。「看不见摸不着的密度」，在现代流体力学的工具箱里早有了自己的显影技术。

11.2声速：从压强-密度关系推导

声速是压缩性问题的「标尺」，先搞清它是什么。

声速的物理本质

声音本质是压强扰动在流体中的传播。声波经过时，流体被交替压缩和稀疏——正是压缩性的体现。所以：声速由流体的压缩性决定。流体越「难压缩」（刚度大），声速越快。

动手推导前，先辨析一个易混点：声速是扰动（信息）的传播速度，不是流体质点自己的运动速度。声音传来时，每个空气分子只在自己位置附近往复微振，把「一压一松」的接力棒传给邻居——接力棒每秒传 340 米，而分子本身几乎没挪窝。这就像体育场的人浪：每个观众只是起立坐下，浪头却能几秒钟绕场一圈。所以「声速 340 m/s」说的是信息传播，「风速 10 m/s」说的是物质搬运，两个速度属于不同的物理层。马赫数 v/c 把「物质搬运速度」与「信息传播速度」直接相除，这正是它能划分流动本质的深层原因。

可以严格推导（思路：把小扰动看成微弱压缩波，用连续性方程和动量方程）：

c² = (∂p/∂ρ)_s　（下标 s 表示等熵过程）

这个式子极其漂亮，它说：声速的平方，等于压强对密度的等熵导数——压缩性越强（密度随压强变化越大），声速越慢；流体越「刚」，声速越快。

理想气体中的声速

对理想气体，等熵过程满足 p/ρ^γ = 常数（γ 是比热比，空气 γ ≈ 1.4）。代入可算出声速：

几个重要推论：

• 声速只与温度有关（对给定气体），温度越高、声速越快。
• 常温下空气的声速约为 340 m/s（约 1224 km/h）。
• 水几乎不可压缩，声速高达约 1480 m/s——比空气快得多，正是因为它「刚」得多。

深一步：声速公式的完整推导

正文一句话带过的推导，值得逐步走一遍。设静止空气（压强 p、密度 ρ）中有一个小扰动波（如音叉推一下空气），它以速度 c 向右传播，波后压强、密度略增：p + dp、ρ + dρ。直接分析「移动的波」不方便，转换参考系——站在波上看：波不动，波前气体以速度 c 流入，波后气体以 c − du 流出（du 是波后气体被推离的速度，小量）。对这个「跨波控制体」列两个方程：

连续性方程（质量流量进出相等）：ρ·c = (ρ + dρ)·(c − du)。展开略去二阶小量，得 ρ du = c dρ。

动量方程（压差 = 动量流率变化）：p − (p + dp) 的合力作用在单位面积上，等于动量通量变化：(−dp) = ρc·[(c − du) − c] = −ρc du，即 dp = ρc du。

两式联立消去 du：dp = ρc·(c dρ/ρ) = c² dρ，于是——

下标 s（等熵）的来历要专门说清楚：声波一个周期不到毫秒，波峰波谷之间来不及发生显著热传导（热传导的特征时间远长于声波周期），所以过程绝热；粘性耗散在这么小的振幅下微乎其微，所以又可逆——两者合起来就是等熵。牛顿当年漏掉的正是这一步：他按等温过程（玻意耳定律 p/ρ = 常数）计算，得 c = √(p/ρ) = √(RT)，15 ℃ 时约 288 m/s，比实测的 340 m/s 低了约 15%。拉普拉斯在 1816 年指出：声波太快，传热跟不上，应当用等熵关系 p/ρ^γ = 常数——修正因子是 √γ = √1.4 ≈ 1.183，288 × 1.183 ≈ 341 m/s，与实测严丝合缝。一段跨越一个半世纪的「等温还是等熵」公案，是热力学与力学联手的好故事。

由等熵关系还能把声速公式推到底：p/ρ^γ = 常数 → (∂p/∂ρ)_s = γp/ρ；再用理想气体状态方程 p = ρRT，得：

工程视角与辨析

一个日常可用的估算工具：看到闪电后数秒，每 3 秒约 1 公里（340 × 3 ≈ 1020 m）——雷声沿弯曲的大气路径传播还会略慢、略弱。温度分层还让声音「拐弯」：夜晚地面附近空气凉、上面相对暖，声速上高下低，声线向慢的一侧（地面）弯曲，所以夜半钟声听得格外远——古诗里的听觉经验，背后是一条声线的折射曲线。

最后辨析一个容易背成口号的推论：「声速只与温度有关」。它的准确表述是：对给定气体（γ、R 确定），声速只取决于当地绝对温度，与压强、密度的高低无关——因为 γp/ρ = γRT，压强和密度恰好约掉。高空空气稀薄（ρ 小、p 小），但只要 T 相同，声速与地面一致。直觉里「稀薄空气声音传得慢」是错的，稀薄只影响声波携带的能量（响度），不影响速度。另一个对照：水中声速约 1480 m/s、钢中约 5000 m/s，因为介质越「刚」（体积模量越大、越难压缩），(∂p/∂ρ) 越大，声速越快——声速确实是压缩性的「倒过来的标尺」。

c = √(γRT) 还能反过来用——当温度计：测出气体中的声速，就能反推温度，工业上叫声学气体测温，适合炉膛、深井等不便插热电偶的场合。固体与液体里，同一公式换成弹性模量语言：c = √(K/ρ)（K 为体积模量）。水的 K ≈ 2.2×10⁹ Pa、ρ = 1000 kg/m³，得 c ≈ 1480 m/s；钢的弹性模量约 2×10¹¹ Pa、ρ ≈ 7850 kg/m³，得 c ≈ 5050 m/s。「刚度大 → 声速快」这条规律穿越固液气三态通用，物理内核只有一个：声速衡量的是介质「被压一压、弹回来」的快慢。

分子运动论给声速再添一层直觉：气体分子的方均根速率 v_rms = √(3RT)（每单位质量气体），15 ℃ 空气约 498 m/s；而声速 c = √(γRT) ≈ 340 m/s，比值恰为 √(γ/3) ≈ 0.68——这不是巧合：声波正是靠分子热运动「传接力棒」，分子跑得越快，信息传得越快。温度升高 → 分子更快 → 声速更高，与 c = √(γRT) 完全自洽。「声速与压强无关」也有分子论的解释：压强升高时分子更密（接力站更近），但每个分子并没有跑得更快——一密一快正好相抵。

11.3马赫数与流动分区

有了声速 c，就能定义最重要的无量纲数之一——马赫数（以奥地利物理学家马赫命名）：

马赫数直接告诉我们「流速比信息传播（声速）快多少」。按 Ma 的大小，流动分成几个区：

亚声速和超声速有一个关键区别，影响深远：

• 亚声速：扰动（比如物体前端的「消息」）以声速传播，比流速快，能「提前通知」上游流体「避让」。流体仿佛「预先知道」物体要来了。
• 超声速：流速比声速还快，扰动传播的速度赶不上流体，上游流体「来不及知道」，直到撞上激波才被突然压缩、转向。

深一步：马赫角的几何推导

超声速马赫锥的半锥角——马赫角 μ——有一步推导的漂亮几何。设一个小扰动源以速度 v（v > c）向右匀速运动，t 秒前它在 O 点发出一个扰动声波，现在那个声波已扩张成半径 c·t 的球面；而扰动源自己已经跑到了前方 v·t 处。这一系列「历史声波球面」全被甩在身后，且都在源后方被一个公切圆锥包住。看剖面直角三角形：源当前位置为顶点，t 秒前那圈波是球面上离顶点最近的切点，斜边（源到切点）长 v·t，直角边（球心到切点的半径）长 c·t，所以：

三个立即可得的推论：Ma = 1 时 μ = 90°（锥面摊平成平面——激波的雏形）；Ma = 2 时 μ = 30°；Ma → ∞ 时 μ → 0°（锥越来越尖，扰动区越来越窄）。马赫角给「扰动被甩在身后」提供了最直观的度量：飞得越快，你的「消息」覆盖的锥角越窄。地面听超声速飞机的音爆，只有在锥面扫过地面的那一刻——锥没到，什么都听不到；锥一过，又恢复寂静。

正文的三分区还可以按工程习惯切得更细，每一格对应不同的物理主次与设计课题：

其中跨声速是最拧巴的一段：物体整体还亚声速，但表面局部流速先越过声速，出现一串小激波；激波又把边界层压得局部分离，引起抖振、阻力陡增。使局部先到声速的来流马赫数叫临界马赫数（典型翼型约 0.7~0.8）。设计者要么把临界马赫数推高（薄翼型、后掠机翼让「法向速度分量」降下来），要么干脆跨过去做纯超声速设计。高超声速段的头号问题则是温度：速度动能经滞止升温，Ma = 5 时总温可达上千开尔文，材料烧蚀与真实气体效应（分子振动、离解）成为主角——第 11.4 节的滞止温度公式就是预告片。

辨析：Ma 用的永远是「当地」声速

一个易错点单列出来：马赫数定义里的 c 是当地声速——由气流当地温度决定，不是海平面 340 m/s 的固定值。同一速度、不同温度，Ma 不同（例题 2 已经演过一遍）；甚至同一股气流沿喷管加速，速度升、静温降，Ma 沿程的变化比速度变化更陡。工程上习惯再定义一个「速度比」v/a*（a* 是临界声速，下节出现），它沿等熵流管守恒，可以当「不变量」用——但日常说的 Ma 一定是「v 除以当地 c」。记忆口诀：马赫数是局部量，查声速先查当地温度。

11.4等熵流动与滞止参数

高速气流的一个核心概念是滞止参数。先看一个直观的问题：高速气流「撞」到一个静止物体上，速度降为零，它的动能去哪了？——转成了内能（温度升高）和压强升高。

滞止参数：把动能「换算」成温度和压强

设想一股速度为 v 的气流，被等熵地（无摩擦、无热交换、可逆地）减速到静止。静止时的温度、压强就是滞止温度 T₀ 和滞止压强 p₀。根据能量守恒（第 4 章思想的推广）：

这个式子含义深刻：气流的「总温」T₀ 是守恒的。流速增大的地方，静温 T 就降低（动能变大、内能变少）；流速降到零的地方，静温升到最高 T₀。喷气发动机正是靠这个原理：气流在进气道减速、温度升高，为后续燃烧做准备。

临界状态

当气流加速到 Ma = 1（声速）时，称为临界状态。对理想气体，临界温度 T* 与滞止温度有固定比值（T*/T₀ = 2/(γ+1)，空气约 0.833）。这意味着：要让气流从静止加速到声速，静温会从 T₀ 降到 0.833·T₀。反过来，喷管要产生超声速气流，必须先经过一个「先收缩后扩张」的形状（拉瓦尔喷管）——这是下一章综合应用里会提到的内容。

深一步：滞止参数的来龙去脉

正文用能量守恒一句话给出了 T₀ = T + v²/(2c_p)，这里补上推导的骨架。对定常、绝热、无轴功的一维流动，取一段流管列能量方程：单位质量流体带走的总能量 = 焓（内能 + 流动功，h = c_pT）+ 动能。它沿流管守恒：

把气流「等熵地」减速到零，就得到滞止状态（h₀、T₀、p₀、ρ₀）。注意两件事：第一，滞止状态通常只是想象中的参考状态——气流不必真的停下来，任何一点的参数都能「折算」出对应的 T₀、p₀；第二，只要流动绝热（哪怕有摩擦），T₀ 就守恒；但只有同时等熵（无摩擦、无激波），p₀ 才守恒。摩擦与激波是「熵增机器」：它们吃掉的正是滞止压强 p₀，而 T₀ 纹丝不动。所以工程上有一句行话——总温顽强，总压脆弱：测量 p₀ 的损失量，就是评估叶轮机械、管道部件「流动品质」的标准手段。

T₀ 与 T 由马赫数直接串起来。由 T₀ = T(1 + 0.2Ma²)，配合等熵关系 p/ρ^γ = 常数与理想气体方程，一步可得整套「滞止比」：

（指数 3.5 = γ/(γ−1)，2.5 = 1/(γ−1)，对空气 γ = 1.4。）这三条公式是可压缩流计算的「三件套」，查任何气动数表都绕不开它们。

这套三件套在工程账本里的角色，一句话点破：滞止参数是「货币」，静参数是「现货」。发动机设计里，进气道「存」总压、压气机「加」总温（做功）、涡轮「取」总温（做功）、尾喷管「花」总压换速度——每个部件的进出口都用 T₀/p₀ 记账，效率与损失一目了然。

临界参数与「0.528」这个数

正文给了 T*/T₀ = 2/(γ+1) ≈ 0.833，把整套临界参数补齐：

其中 p*/p₀ ≈ 0.528 是一个值得记住的工程数：当下游环境压强降到滞止压强的 0.528 倍以下，喷管喉部的气流恰好达到声速，流量达到上限，此后继续降低背压，流量不再增加——这个现象叫壅塞（choking），0.528 就是空气的「临界压比」。壅塞像一个自动阀门：喉道 Ma = 1 后，下游的减压信号以声速往回传，而喉道气流恰以声速离开——信号永远追不进去，上游对背压「失聪」。

拉瓦尔喷管：超声速为什么越「扩」越快

正文说超声速喷管必须「先收缩后扩张」（拉瓦尔喷管，Laval nozzle），这个「反直觉」值得当场推导。三个方程联立：①一维欧拉方程 dp = −ρv·dv（压强推动加速）；②等熵关系 dp = c²dρ；③连续性方程 ρvA = 常数的微分形式 dρ/ρ + dv/v + dA/A = 0。从②解出 dρ = dp/c²，代入①得 dρ = −ρMa²·(dv/v)——超声速时密度的相对下降速度是速度相对增量的 Ma² 倍。代回③：

这张「微分地图」一目了然：亚声速段（Ma < 1），dA/A 与 dv/v 反号——截面收缩（dA<0）才有加速（dv>0），与直觉一致；喉部（Ma = 1），dA/A = 0——截面取极值，这是声速只能在「最窄处」出现的数学原因；超声速段（Ma > 1），两量同号——截面越扩（dA>0）流速越快（dv>0），密度下降比面积增长更快，ρvA 要守恒，只能靠 v 顶上。一句话：超声速气流的「主角」是密度的塌缩，而不是面积的扩张。

工程视角与辨析

这套「滞止参数 + 临界参数」语言，是叶轮机械与喷气推进的通用货币：发动机进气道把气流从 Ma≈0.8 减速到压气机入口的 Ma≈0.4~0.5，靠的是通道扩张与滞止压强的「变现」；燃烧室再加热，尾喷管最后把能量倒回速度——压气机、涡轮的每一级都在用 T₀、p₀ 记账。风洞要模拟超声速，同样先由高压气源「蓄」出高 p₀，再经拉瓦尔喷管「释放」。辨析收尾：滞止参数是「折算出来的参考态」，不是气流里真实存在的某个截面；等熵流动中 T₀、p₀ 沿程守恒，可以把它们当成流动的「身份证」；一旦出现激波或摩擦，p₀ 掉落（熵增），T₀ 依然守住——于是测量 T₀ 与 p₀ 的损失，反过来成了诊断流动「坏到什么程度」的听诊器。

超声速风洞是拉瓦尔喷管原理的「放大器」：气罐蓄满高压（高 p₀），喷管把它「翻译」成试验段里稳定的 Ma = 2~4 气流，试验段之后再用扩压器把动能逐步增压回收。设计喷管型面时，工程师逐段微调面积变化率，让 (Ma² − 1)·dv/v 恰好积分出目标马赫数分布——本节那条微分关系式，就是他们手里的曲线板。