📖 右手定则 四指从 r 的方向朝 F 的方向「握」过去，大拇指指的就是 M 的方向。这个定则是空间力学的「指南针」，判断力矩、力偶、角速度方向都靠它。
🎯 本章学习目标
- 理解空间力对点的矩是一个矢量（用矢积定义），以及它的几何意义。
- 理解「力对轴的矩」，并掌握它与「力对点的矩」的关系。
- 会用右手定则判断力矩、力偶的方向。
- 掌握空间力系的六个平衡方程。
- 会用力偶矩矢量的自由性说明空间力偶系的合成与平衡条件。
- 能清点常见空间约束的未知量数目（球铰 3、向心轴承 2、固定端 6），并完成含轴承反力的空间平衡计算。
6.1空间力对点的矩：一个真正的矢量
在平面里，力矩只分「顺时针/逆时针」，用一个带正负号的数就够了。但在空间里，一个力可以让物体绕任意方向的轴转，转动方向不再只有两种。所以空间力矩必须升级为一个完整的矢量。
核心概念：力对点的矩（矢量） 力 F 对点 O 的矩定义为矢积：MO = r × F，其中 r 是从 O 指向力作用点的位置矢量。结果 MO 是一个矢量，大小等于 F·d（d 是 O 到力作用线的垂直距离），方向由右手定则确定：垂直于 r 和 F 所张的平面。
矢积 r × F 的直观含义：它的大小等于「由 r 和 F 张成的平行四边形面积」，方向垂直这个平面。力矩矢量的方向，正好指示了「转动的轴线指向」——就像拧螺丝时，螺丝前进的方向就是力矩矢量的方向。
落到纸面：矢积的分量算法
直觉有了，怎么算？把 r = (x, y, z)、F = (Fx, Fy, Fz) 代入矢积，展开得三个分量：
| 分量 | 算式 | 物理读法 |
|---|---|---|
| Mx | yFz − zFy | 绕 x 轴的转动趋势（绕其他轴的这里不出现） |
| My | zFx − xFz | 绕 y 轴的转动趋势 |
| Mz | xFy − yFx | 绕 z 轴的转动趋势——平面问题的老朋友！ |
这三个算式不必死背，认准规律：每个分量都是「两个交叉相乘的差」——x 分量偏偏不含 x，由 y、z 交叉相乘；且下标按 x→y→z→x 的轮换顺序，「前项」是顺着轮换乘，「后项」是逆着轮换乘。整体也可以写成行列式一眼展开：
MO = r × F = |i j k；x y z；Fx Fy Fz|
值得专门看一眼第三行：Mz = xFy − yFx——这正是平面里「力对点之矩」的公式（第 3 章用带正负号的数表达的那种）。所以平面力矩不是另一套理论，它就是空间力矩矢量在 z 轴上的那个分量；当时默认所有力都在 xy 平面内（Fz = 0、z = 0），另两个分量自动为零，矢量退化成「只剩一个数」。前几章的功夫，在这里全部兼容。
这里必须补一条容易被略过、却牵一发动全身的约定：本书所有坐标系都是右手系。判别动作还是右手定则——四指从 x 轴正向握向 y 轴正向，大拇指必须指向 z 轴正向。这三根轴的「骨架」一旦定下，前面所有公式（包括 Mz = xFy − yFx 的交叉顺序）才与右手定则配套。假如有人用左手系（z 轴反着画），分量式里所有正负号都要翻面，算出的「正」在右手定则下会变成「负」。做空间题第一步，先在图上把右手系画对、并养成「x 握向 y，拇指是 z」的检查习惯——坐标系画错，后面全盘皆错，而且错得悄无声息。
📐 例题 1 计算力对点的矩（矢量的完整三分量）
力 F = (30, −20, 10) N 作用在点 A(0.4, 0.2, 0.3) m 处（坐标单位 m）。求 F 对坐标原点 O 的矩 MO，说明它的大小与方向，并逐个分量解释「绕哪根轴、往哪边转」。
思路：先写出位置矢量 r = (0.4, 0.2, 0.3)，再按三个分量公式交叉相乘；最后解释每个分量的转动含义。
解：Mx = yFz − zFy = 0.2×10 − 0.3×(−20) = 2 + 6 = 8 N·m；My = zFx − xFz = 0.3×30 − 0.4×10 = 9 − 4 = 5 N·m；Mz = xFy − yFx = 0.4×(−20) − 0.2×30 = −8 − 6 = −14 N·m。
大小：M = √(8² + 5² + 14²) = √285 = 16.9 N·m。方向：矢量 (8, 5, −14)，由右手定则定出（大致指向「右前下」），垂直于 r 与 F 张成的平面。
逐分量读一遍：Mx = +8 表示「从 x 轴正端往原点看」，该力使刚体绕 x 轴逆时针转 8 N·m；My = +5 是绕 y 轴的逆时针（从 y 正端看）5 N·m；Mz = −14 是绕 z 轴的顺时针（从 z 正端看）14 N·m——三个分量合起来，就是这个力「总的转动打算」：三条轴上各想转多少，全写在 MO 这张三联账单上。
交卷前再送一个免费的自检恒等式：力矩既垂直于 r 又垂直于 F（矢积的天性），所以 MO 与 r、F 的点积必须双双为零。本例：M·r = 8×0.4 + 5×0.2 + (−14)×0.3 = 3.2 + 1 − 4.2 = 0 ✓；M·F = 8×30 + 5×(−20) + (−14)×10 = 240 − 100 − 140 = 0 ✓。两个零落袋，交叉相乘的顺序就一定没抄错。以后凡是算 r×F，这两个点积是最便宜的「验算器」。
答：MO = (8, 5, −14) N·m，|MO| = 16.9 N·m；绕 x、y 轴逆时针 8 与 5 N·m，绕 z 轴顺时针 14 N·m（均从各轴正端看）。 ⚠ 易错点：①三个分量公式交叉顺序不同，最常见错误是把 My 写成 xFz − zFx（前后两项颠倒了），正负号会整体反掉；②「从轴正端看逆时针为正」要与前几章「逆时针为正」约定接上——本质相同，只是现在要指明「从哪头看」；③力矩大小 16.9 不等于三个分量直接相加，必须平方和开根号。
工程应用：铰链与手柄的「转动账单」
为什么工程师如此关心这三个分量？因为机器里的转动都是绕具体轴发生的：门绕门轴、螺旋桨绕桨轴、舵面绕铰链轴。力矩矢量三联账单上，真正进入「门会不会转」这个问题的是沿门轴方向的分量——这就是下一节「力对轴的矩」。而设计操纵手柄、扭矩扳手时，工程师反过来用：希望转轴只收到「干净的」转动力矩，不希望产生旁侧分量（那会压弯轴、磨损轴承），于是手柄形状、施力方向都要精心安排，让 r 与 F 尽量垂直——矢积最大、方向干净。你握螺丝刀垂直往下压着拧，就是在执行这条力学；歪着拧，轴上就多出不必要的旁侧力矩。
再交代一个训练场上的实战习惯：算完三个分量后，每个分量单独用右手定则比划一遍——比划出的转向与分量正负号一致才放行。例题 1 里 Mz = −14：右手四指从 r 握向 F 时，大拇指若指向 −z（往下），分量就应取负，一比划就知道没写反。多数正负号错误都能被这十秒钟的比划当场抓住，比事后重算便宜得多。
辨析：这一节里出现了三种「户口」不同的矢量
空间力学里矢量不是铁板一块，各自有不同的「活动自由度」，认不清会埋下隐患——
| 矢量 | 户口类型 | 允许的移动 | 依据 |
|---|---|---|---|
| 力 F | 滑移矢量 | 沿自身作用线滑移（对刚体） | 力的可传性（第 2 章） |
| 位置矢量 r | 定位矢量 | 不能移动（从 O 指向具体作用点） | 定义如此：换端点就换了对象 |
| 力对点的矩 MO | （依附于矩心） | 换矩心 O，MO 就变（第 5 章移轴公式的空间版） | MO = r×F 中 r 依赖 O |
| 力偶矩矢 M（6.3 节） | 自由矢量 | 可在空间任意平移（对刚体） | 第 4 章三性质的空间推广 |
最值得留神的是第三、四行的对比：同样叫「矩矢量」，力对点的矩粘着矩心——矩心一动它就变；力偶矩矢谁也不粘——在刚体空间里随便搬家效果不变。这个差别马上会在 6.3 节发挥作用：力偶系的合成之所以简单到「矢量直接相加」，全靠它是自由矢量。
6.2力对轴的矩：绕着「轴」怎么转
工程里更常用的是「力对轴的矩」——一个力让物体绕某根具体的轴（比如门轴、转轴）转动的能力有多大。比如关门时，我们关心的是力绕「竖直门轴」的转动效果，而不是绕空间中某个孤立点的效果。
核心概念：力对轴的矩 力 F 对 z 轴的矩，等于力在垂直于 z 轴的平面内的投影 Fxy，乘上它到 z 轴的垂直距离 d：Mz = Fxy · d。它本质上是「把力投影到与轴垂直的平面上，再按平面力矩去算」。
关键一步：力对轴的矩只由「垂直于轴的分量」贡献。与轴平行的力分量，对绕该轴的转动毫无作用——你沿着门轴方向上下推门，门不会转，就是这个道理。
🧠 一句话记忆 力对轴的矩：先投影到「垂直轴的平面」上，再按平面力矩算。平行轴的分量，白搭。
投影分解法：四步操作
把「定义」变成「手上的动作」，固定成四步——
- 选平面：作一个垂直于该轴的平面（对 z 轴就是 xy 面，或任一平行它的截面）。
- 投影力：把 F 投影到该平面上，得 Fxy；平行于轴的分量当场扔掉。
- 量力臂：找投影 Fxy 的作用线到轴的垂直距离 d（注意是「投影线」到轴，不是原始作用点到轴）。
- 带符号：从轴的正端往负端看，逆时针取正、顺时针取负，得 Mz = ±Fxy·d。
用坐标算时，四步浓缩回一个公式：Mz = xFy − yFx（6.1 节表里的第三行）；对 x、y 轴同理换用另两行。几何法（投影作图）与坐标法（公式代入）应能互相校核——两种都算一遍，是空间问题最便宜的自查。
第④步的「带符号」还值得单独啰嗦一次，因为它是空间题正负号事故的高发区。「从轴正端往负端看，逆时针为正」其实有三种等价说法，说清它们的一致性，符号系统就再也不会打架——说法一：观察法，站在轴的正端往回看，逆时针为正；说法二：手形法，右手大拇指沿轴正向，四指自然弯曲的转向为正；说法三：矩矢法，把对轴的矩看成「缩到一根轴上的矩矢」，矩矢沿轴正向时为正。三者说的是同一件事：都来自同一个右手定则。列方程前声明用哪种说法都行，但全题只用一种；发现自己在两种说法之间来回横跳，就是事故预警。
深化：为什么「对轴的矩」是标量，而「对点的矩」是矢量？
这一问正踩在概念的要害上。转动的完整信息包括「绕哪根轴」和「往哪边转」：对点的矩里，「哪根轴」还没定——空间里过一点有无穷多根轴，所以必须用一个矢量同时携带方向（轴线指向）与大小；对轴的矩里，轴已经指定了，剩下的只有「逆时针还是顺时针」两个选项——一个带正负号的数足够，用矢量反而多余。换句话说：轴矩是点矩在该轴上的投影（下一节的主题），投影到一根固定的轴上，矢量自然「降维」成标量。
再往前回望一眼：平面问题里我们一直用带正负号的数记力矩，从没觉得别扭——因为那时所有转动都绕同一根轴（垂直于纸面的 z 轴），「哪根轴」是默认的，标量记账完全够用。平面力学其实是空间力学「轴已固定」的特例，这个视角现在才彻底说清。
两种「白搭」：什么时候 Mz = 0？
按投影分解法，Mz = 0 有且只有两种来源——
- 力平行于轴：投影 Fxy = 0（哪怕作用点离轴很远），例如沿门轴方向推门，任凭多用力，门纹丝不动；
- 力的作用线与轴相交：投影有了，但作用线穿过轴，力臂 d = 0，例如沿门板面正对门轴推。
两种情形合起来一句话：力的作用线与轴共面（平行或相交），对轴之矩必为零。这句话反着用更有用——想要力「只转不压」，就把施力线安排在与转轴共面的位置之外、垂直分量的力臂尽量做大；想要力「只压不转」，就让作用线与轴共面。门把手装在离门轴最远的门边、并且推力垂直门板，正是「把 Mz 做大」的设计；沿门边推门省力却推不开，正是「共面白搭」的生活版。
📐 例题 2 推门把手：投影分解法实战
门轴沿 z 轴（竖直），门把手位于 A(0.8, 0.3, 1.0) m（从门轴量起：0.8 m 沿门板方向、0.3 m 为把手突出厚度、1.0 m 为高度）。手对把手的作用力 F = (0, −20, 30) N：水平分量 20 N 垂直门板向前推，竖直分量 30 N 由手搭压产生。求 F 对 z 轴（门轴）的矩，并用两种方法互相校核；顺带写出对 x、y 轴的矩。
思路：对 z 轴的矩走「投影分解法」四步；同时用坐标公式 Mz = xFy − yFx 验算。
解（方法一：投影分解）。①垂直于 z 轴的平面取水平面（xy 面）。②投影力：F 的水平投影 Fxy = (0, −20, 0)，大小 20 N；竖直分量 30 N 平行于门轴，当场扔掉——它推门「白搭」。③力臂：投影线过把手平面位置 (0.8, 0.3)，沿 −y 方向，是一条「x = 0.8」的直线，到 z 轴（过原点）的垂直距离 d = 0.8 m。④符号：从上往下看（z 正端向原点看），力朝 −y 推在轴右侧 0.8 m 处——绕轴顺时针，取负。Mz = −20 × 0.8 = −16 N·m，关门方向。
（方法二：坐标公式）。Mz = xFy − yFx = 0.8×(−20) − 0.3×0 = −16 N·m ✓ 两条路会师。竖直分量 30 N 在公式里根本不出现（Fz 不进 Mz），与「扔掉平行分量」完全一致。
顺带算另两轴（用 6.1 节分量式）：Mx = yFz − zFy = 0.3×30 − 1.0×(−20) = 9 + 20 = 29 N·m；My = zFx − xFz = 0 − 0.8×30 = −24 N·m。这两个分量对「门绕门轴转」没有贡献，但它们是真实存在的：想把门轴上的铰链压弯、把门从轨道里抬起来的趋势，就藏在这 29 和 −24 里——门轴和铰链要靠它们来「兜底」。
答：Mz = −16 N·m（从上往下看顺时针，关门），两种方法一致；Mx = +29 N·m、My = −24 N·m 为作用在门轴与铰链上的旁侧载荷。 ⚠ 易错点：①力臂用的是「投影线」到轴的距离 0.8 m，不是把手点到轴的直线距离 √(0.8² + 0.3²) = 0.85 m——0.3 m 的把手厚度只影响旁侧矩，不影响 Mz；②「从轴正端看」的观察方向要先声明再定正负，别用「逆着看」的视角套「顺着看」的符号；③竖直分量并非「不存在」，它只是不进这一个矩——别顺手把它从受力图上删掉。
例题 2 还藏着两条可以直接抄走的设计结论。其一：把手装多高不影响关门力矩——坐标 z 根本不出现在 Mz = xFy − yFx 里，把手装在 1.0 m 还是 1.5 m 高，同一水平推力的关门效果分毫不差（变的只是旁侧矩与铰链受力）。其二：推力方向比力气大小更值钱——沿门板方向的分力（如斜着推）与门轴共面，对 Mz 零贡献；只有垂直门板的分力干活。所以「顺着门板推白费劲、垂直门板推省一半」不是生活错觉，是 Mz 的坐标式直接写出来的结论。消防门的横杆推闩（push bar）全长等宽，就是保证无论按在横杆哪一端、施力点偏离把手位置，都仍有垂直分量与足够的力臂——力矩代数式本身就是设计说明书。
驾驶座现场：方向盘的「双手账单」
方向盘轮缘半径约 0.18 m，转向柱轴竖直。规范握法是 9 点、3 点双手对称推拉：每只手切向施力 20 N，两力等值反向、力臂都是 0.18 m——合成绕转向轴的转矩 2 × 20 × 0.18 = 7.2 N·m，而两力的矢量和为零，纯力偶输入：转向柱只被「拧」，不被「压弯」，柱内的轴承轻松。
换成单手搭在 12 点位置搓轮：同样凑出 7.2 N·m 转矩需要 40 N 切向力（40 × 0.18 = 7.2），转矩一样到账，但这 40 N 是一个单力——除了转动，它还附带一个 40 N 的横向力压向转向柱，全部由柱内轴承「兜底」，长途驾驶时手感沉重、轴承磨损加快都与此有关。同一份转矩，两种「记账方式」：双手对称把它记成纯力偶，单手把它记成力 + 力偶（向轴简化即可分离）。这就是「为什么教练都要求双手对称握方向盘」的静力学原文。
6.3力对点的矩与力对轴的矩的关系
这两个矩不是两回事，而是同一个东西的两种「看法」。有一个漂亮的关系：
核心关系 力 F 对某轴的矩，等于力对「该轴上任一点」的矩矢量在该轴方向上的投影。用公式写：Mz = [MO]z，即把对点的矩矢量投影到 z 轴，就得到对 z 轴的矩。
这句话怎么理解？力矩矢量 MO 本身指向「转动的轴」方向；把它往哪根轴上投影，得到的就是「绕那根轴转」的矩。所以「对点的矩」是完整信息，「对轴的矩」只是取它的一个分量。这就统一了平面里和空间里的力矩概念。
🧠 一句话记忆 对轴的矩 = 对点的矩往轴上「投影」。点矩是全集，轴矩是分量。
把关系式用起来：三个直接推论
这条关系式不只是「认亲」，它能立刻推出三件有用的事——
推论一：轴上取哪个点做矩心，结果一样。对 z 轴上的 O₁、O₂ 两点分别算点矩，两个矢量不同，但它们的差是「沿 z 方向平移 r 造成的」，恰好垂直于 z 轴（严格说：相差的部分不含 z 分量），投影到 z 轴上之后完全相同。所以 Mz 与「轴上取哪点」无关——轴矩是「轴」的属性，不是「点」的属性。例题 2 里无论门轴上取哪一点，Mz 都是 −16 N·m。
推论二：Mz = 0 ⟺ 力与轴共面。点矩垂直于 r、F 张成的平面；若力与轴共面，点矩矢量就垂直于轴，投影为零（6.2 节两种「白搭」的矢量版证明）。
推论三：算轴矩多了一条路。几何投影法算起来别扭时，可以先算点矩矢量（坐标公式手起刀落），再往轴上投影取分量——例题 2 的「方法二」正是这条路。两套方法互为校核，空间题的正确率立刻上一档。
空间力偶矩矢：自由矢量的「完全体」
第 4 章说过，平面里的力偶矩是自由矢量（同面内随便搬）。到了空间，「自由」升了级：力偶不但能在原作用面内平移、换臂长、换转向摆放，还能搬到任何一个与之平行的平面里去，效果分毫不差。所以空间力偶的「身份证」只需三个数：力偶矩的大小、作用面的方位、转向——合起来恰好是一个矢量：大小 = Fd，方向垂直于作用面、由右手定则定转向。这就是力偶矩矢 M。
于是空间力偶系的合成彻底简单化：把每个力偶都换成矩矢，按矢量直接相加（多边形法则）即可——第 4 章的「代数相加」是各矩矢都平行（同一平面）时的特例。平衡条件也照搬：各力偶矩矢的矢量和为零。
「能搬到平行平面」值得多看一眼，它是第 4 章三条性质的空间接力，三步就能看懂——
第一步（改造）：力偶由两个力组成，各自可沿作用线滑移（可传性），先把臂长、力的位置调整到便于比较的形状；第二步（换面）：在原作用面的平行面里画一对完全相同的力，新旧两对力各自等值反向平行——它们对外效应的差别只可能出现在「平动」上，但两对力各自的矢量和都是零，平动效应恒为零，差别为零；第三步（换向）：把力偶整体在平面内旋转、翻转、挪位，正是平面三性质的旧本领。三步合起来：空间力偶只认「大小 + 方位 + 转向」三个数，正好打包成一个自由矢量。这也解释了 6.1 节辨析表里那行「自由矢量」的依据——不是规定出来的，是推导出来的。
📐 例题 3 空间力偶系的合成与平衡
刚体上作用三个力偶：M₁ = 30 N·m，作用面平行 yz 面（矩矢沿 +x）；M₂ = 40 N·m，作用面平行 zx 面（矩矢沿 +y）；M₃ = 50 N·m，作用面平行 xy 面（矩矢沿 −z）。求合力偶，并给出使刚体平衡所需施加的力偶。
思路：力偶矩矢是自由矢量，三个矩矢不在同一作用面也照加不误——直接从原点 O 出发按分量合成。
解：①写成矩矢：M₁ = (30, 0, 0)，M₂ = (0, 40, 0)，M₃ = (0, 0, −50)（单位 N·m）。②矢量相加：M = (30 + 0 + 0, 0 + 40 + 0, 0 + 0 − 50) = (30, 40, −50)。③大小：M = √(30² + 40² + 50²) = √5000 = 70.7 N·m。④方向：与 +x 轴夹角 α = arccos(30/70.7) = 64.9°，与 +y 轴夹角 β = arccos(40/70.7) = 55.6°，与 +z 轴夹角 γ = arccos(−50/70.7) = 135°——三个方向角把矩矢钉死在空间里。
⑤平衡：需再施加一个力偶，其矩矢 Mb = −M = (−30, −40, +50) N·m，大小同为 70.7 N·m，方向与 M 相反。施加方式无穷多：任选一对等值反向平行力，只要 Fd = 70.7 N·m、面法向沿 (−30, −40, +50) 方向即可——力偶矩矢只认「大小 + 方位 + 转向」，不认具体的力和臂。
答：合力偶矩矢 M = (30, 40, −50) N·m，|M| = 70.7 N·m，方向角 64.9° / 55.6° / 135°；平衡力偶矩矢为 (−30, −40, +50) N·m。 ⚠ 易错点：①M₃ 的矩矢沿 −z，写分量时是「0, 0, −50」，漏负号整个方向角全错；②三个方向角必须分别与 +x、+y、+z 轴量，cos²α + cos²β + cos²γ = 1 可作校核（0.18 + 0.32 + 0.5 = 1 ✓）；③「作用面平行 yz 面」意味着矩矢沿 x——作用面与矩矢垂直，别把面法向当成面内方向。
车间现场：砂轮与飞轮的「静平衡」和「动平衡」
砂轮机上换新砂轮，师傅总要先「找平衡」。原来转子若有一块偏心质量，转动起来就有一个始终甩向一侧的力，轴承受害、机身发抖——这叫静不平衡，本质是惯性力的「合主矢」不为零；在轮缘上加一块配重把主矢抵掉即可，一个校正平面就够，术语叫静平衡。
更隐蔽的是动不平衡：两块等量偏心质量装在转子同一条直径的两端（轴向错开）。旋转时两个惯性力等值、反向、平行——矢量和为零，主矢没问题；但两力不共线，合成一个力偶！按本节的办法，这个力偶的矩矢沿轴向，必须再加一对配重，在两个校正平面里形成一个反向力偶去抵消它——这就是动平衡要在轮子两端面分别钻孔去重的力学原理。转子越宽（轴向越长），同样的偏心造成的力偶矩越大，所以宽飞轮、长滚筒的动平衡远比薄砂轮要紧。
回头看：静平衡管「主矢」，动平衡管「主矩（力偶矩矢）」——第 5 章的身份证理论 + 本节的矩矢合成，就是车间里那台动平衡机背后的全部静力学。
辨析：点矩、轴矩、力偶矩矢，三级火箭
把三种「矩」放在一起排个座次——
| 力对点的矩 MO | 力对轴的矩 Mz | 力偶矩矢 M | |
|---|---|---|---|
| 属于 | 单个力 | 单个力 | 力偶（一对力） |
| 类型 | 矢量（依附矩心） | 标量（带正负号） | 自由矢量 |
| 信息量 | 完整转动信息（三轴分量） | 一根轴上的分量 | 纯转动总量（无平动） |
| 关系 | 全集 | Mz = [MO]z（投影） | 与矩心彻底无关 |
| 退化到平面 | 只剩 z 分量 | 第 3 章的 ± 数 | 第 4 章的代数和 |
记忆的抓手：点矩是「三联账单」，轴矩是「账单上的某一行」，力偶矩矢是「只管转动、不认地址的通行证」。第 5 章在平面里讲过「主矢 + 主矩」，到空间里主矩本身就是矢量——三联账单整张端出来，六个平衡方程（下节）正是「三行投影 + 三行账单」的全部清零。
6.4空间力系的平衡方程
空间里，一个自由刚体有六种可能的运动：沿 x、y、z 三个方向平动，以及绕 x、y、z 三根轴转动。每堵住一种运动需要一个方程，所以空间一般力系的平衡需要六个方程：
ΣFx = 0， ΣFy = 0， ΣFz = 0
ΣMx = 0， ΣMy = 0， ΣMz = 0
核心思想 空间力系平衡的充分必要条件是主矢为零、主矩为零，即三个投影方程 + 三个力矩方程，共六个独立方程，最多解六个未知量。
前面几章的平面问题，其实都是空间问题的「退化」：当所有力都在 xy 平面内时，ΣFz、ΣMx、ΣMy 自动为零，六个方程就退化成熟悉的三个方程。所以，空间六方程是「母方程」，平面三方程是它的特例。
| 力系类型 | 独立平衡方程数 | 对应运动 |
|---|---|---|
| 平面汇交力系 | 2 个 | 堵住沿 x、y 平动 |
| 平面力偶系 | 1 个 | 堵住绕 z 转动 |
| 平面一般力系 | 3 个 | 2 平动 + 1 转动 |
| 空间一般力系 | 6 个 | 3 平动 + 3 转动 |
🧠 一句话记忆 空间六方程：三个力、三个矩。平面问题是它的特例——多出来的三个方程自动归零。
空间约束的「价目表」：谁提供几个未知量？
列方程之前先得知道未知量从哪儿来。平面里的铰链、滚动支座到了空间各有「升级版」，价目如下——
| 约束 | 未知量 | 个数 | 力学含义 |
|---|---|---|---|
| 球铰链（固定球支座） | X、Y、Z | 3 | 任意方向的反力，但完全不限制转动 |
| 向心轴承（径向轴承） | 垂直于轴的两个径向分量 | 2 | 只挡径向，不挡轴向窜动 |
| 向心推力轴承 | 径向 2 + 轴向 1 | 3 | 径向 + 单向轴向都挡 |
| 固定端（嵌入端） | X、Y、Z + Mx、My、Mz | 6 | 既不让走也不让转，约束里的「全家桶」 |
把价目表和六方程对上账：单物体问题里，全部约束的未知量总数 ≤ 6 才静定。平面约束都是它们的退化版：固定铰支座 = 球铰退化成平面，滚动支座 = 向心轴承退化成平面。例题 4 将用到价目表的第二行。
空间问题的解题流程（与平面一脉相承）
- 选研究对象、画受力图：空间受力图常画成两个投影视图（如俯视 + 正视），每个视图就是一个平面力系图。
- 清点未知量：按价目表数约束，先判断静定与否。
- 选轴列方程：投影轴尽量与多个未知力垂直（它们自动不出现）；矩轴尽量与多个未知力平行或相交（它们对该轴的矩自动为零）——这是平面问题「矩心选未知力交点」的空间版。
- 联立求解、代回校核：没用过的方程留着做终检。
第 3 条是空间题的胜负手。平面里矩心是一个点，空间里矩轴是一根线，选择余地大得多；挑到一根「与四个未知力都平行或相交」的轴，一个方程就少掉四个未知量，常常直接开锁。
📐 例题 4 传动轴的轴承反力（空间平衡的完整演练）
水平传动轴沿 x 轴放置，由两个向心轴承支承：A 在 x = 0，B 在 x = 0.6 m。轴上装有直齿轮 C（x = 0.15 m），节圆半径 0.1 m，啮合点位于齿轮顶部（y = 0，z = +0.1 m）。啮合力分解为：切向分力 Ft = 400 N（沿 −y），径向分力 Fr = 160 N（沿 −z，指向轴心）。电机经联轴器输入转矩 m = 40 N·m（矩矢沿 x 轴负向）。求 A、B 两轴承的反力，并校核转矩平衡。
思路：先清账——向心轴承每只提供 2 个径向未知量（⊥ 轴），A、B 合计 4 个：YA、ZA、YB、ZB。六个方程里 ΣFx 自动满足（全系统无轴向力），剩 5 个有效方程：4 个解未知量，1 个（ΣMx）正好校核转矩。矩轴取 x、y、z 本轴最方便。
解：设各未知量沿坐标正向。受力图见图 6-5（两个投影视图）。
① 对 z 轴取矩（消去 A、B 的全部未知量与 Fr——它们或过轴、或平行轴）：ΣMz = 0.6·YB + 0.15×(−400) = 0 → YB = 60/0.6 = 100 N（沿 +y）。
② 对 y 轴取矩：ΣMy = −0.6·ZB + [−0.15×(−160)] = 0 → −0.6·ZB + 24 = 0 → ZB = 40 N（沿 +z）。
③ 投影方程收尾：ΣFy：YA + 100 − 400 = 0 → YA = 300 N（+y）；ΣFz：ZA + 40 − 160 = 0 → ZA = 120 N（+z）。
④ 转矩校核（ΣMx）：Ft 在顶部产生的绕轴矩 = −z·Fy = −0.1×(−400) = +40 N·m；Fr 过轴线，矩为零；输入转矩 −40 N·m → ΣMx = 40 − 40 = 0 ✓。齿轮传来的「工作转矩」恰好被电机的输入转矩抵住，轴匀速运转。
⑤ 全量校核：把四个反力与全部外力代回 ΣFy（300 + 100 − 400 = 0 ✓）、ΣFz（120 + 40 − 160 = 0 ✓）、ΣMz（0.6×100 − 60 = 0 ✓）、ΣMy（−0.6×40 + 24 = 0 ✓）。全部归零。
答：YA = 300 N，ZA = 120 N，YB = 100 N，ZB = 40 N（均沿坐标正向）；ΣMx 校核为零，转矩平衡成立。 ⚠ 易错点：①向心轴承不给轴向反力，别给 A 或 B 加 X；②「对 z 轴取矩」时用 xFy − yFx，顶部啮合点的坐标 y = 0，Ft 的贡献是 0.15×(−400)——作用点坐标与力分量要一一对应；③径向分力 Fr 指向轴心（−z），它对 x、z 轴都无矩（作用线过轴），但进 ΣFz 方程——「无矩」不等于「不存在」；④矩轴尽量「平行或相交多个未知力」：本题对 z 轴取矩一步消掉 4 个未知量中的 3 个，是解题流畅的关键。
工程应用：这道题的答案去哪儿上班？
例题 4 的四个数字不是算完就扔的作业答案，它们是机械设计的直接输入：YA、ZA、YB、ZB 合成两只轴承上的径向载荷（A 处 √(300² + 120²) = 323 N，B 处 √(100² + 40²) = 108 N），用来选轴承型号、估算寿命；输入转矩 40 N·m 用来校核轴的扭转强度；再把轴承反力「搬家」到轴上各截面，算弯矩图、定危险截面、定轴径——一条静力学 → 材料设计的完整流水线。减速箱、风电齿轮箱、机床主轴，设计的第一页计算书几乎都是这道题的样子。
把例题 4 的矩轴选法复盘一遍，看「钥匙」是怎么转的。对 z 轴取矩时，四个未知量里 YA、ZA 过原点（作用线与轴相交，矩为零），ZB 平行于 z 轴（平行，矩为零）——四去其三，只剩 YB 一个「幸存者」与已知的 Ft 同场竞技，方程一步开锁。对 y 轴取矩同理。挑矩轴的口诀就是 6.3 节推论二：与轴平行或相交的力，矩自动归零；一根好矩轴，要「平行或相交」尽可能多的未知力。平面问题的「矩心选未知力交点」只有点的自由度，空间题的矩轴有整整一根线的自由度——发挥余地大，回报也大，这是空间题解得优雅还是狼狈的分水岭。
预告：平面里遇不到的「力螺旋」
第 5 章说过，平面内「一个力 + 一个力偶」总能合成一个力。到空间里这条「优惠」就没了：若主矩不垂直于主矢，「垂直分量」能被偏移的力吸收掉，剩下的「平行分量」谁也吸收不了——最简结果只能是「一个力 + 一个与它平行的力偶」共存，形如拧螺丝时「边压边转」，故称力螺旋。钻头进给、螺旋桨推进、拧木螺钉，本质都是力螺旋。它是空间力系简化的最一般形态，本章只需认识它的名字与来历，定量分析留给后续课程。
把空间简化的可能结果与第 5 章的平面四情形对个账——
| 结果 | 空间条件 | 平面对应（第 5 章） |
|---|---|---|
| 合力（过简化中心） | 主矢非零，主矩为零 | 情形 1 |
| 合力（不过中心） | 主矢非零，主矩与主矢垂直（可被偏移的力吸收） | 情形 2 |
| 力螺旋 | 主矩含与主矢平行的分量，吸收不掉 | 无——平面里主矩天然垂直纸面、恒与主矢垂直，永远不出现 |
| 合力偶 | 主矢为零，主矩（矢）非零 | 情形 3 |
| 平衡 | 主矢、主矩皆零（六个方程全清） | 情形 4 |
看懂这张表，静力学的简化理论就整体闭环了：平面里的「四种情形」是空间「五种结果」的投影；空间多出来的那一行（力螺旋），正是三维世界献给力学的独特现象。简化的操作流程两处完全一致——都是「平移 → 汇总主矢主矩 → 讨论残局」，区别只在空间的主矩是矢量，最后一步要多做一次「沿主矢方向分解」的手续。第 5、6 两章合起来，就是任意力系简化的完整地图。
合上书做一个三分钟自测：不看任何公式，在白纸上默画「三代矩」的传承图——第 3 章平面力矩（一个带符号的数，轴被默认垂直纸面）、第 4 章力偶矩（在平面里自由的数）、本章两类矩（依附矩心的点矩矢量 + 彻底自由的力偶矩矢），再用箭头标上「投影」关系（Mz = [MO]z）。图能默出来、箭头方向能讲清，这一章的核心就真正长在脑子里了；哪里卡壳，就从哪里回炉。
重心：空间平行力系的「天然汇交点」
工程里最常见的荷载是重力：每个微元上都挂一个铅直向下的力，整台设备就是一支庞大的空间平行力系。把全部微元重力向一点简化，主矢就是总重 W；主矩一般不为零，但可以专门挑一个点，让各微元重力对它的矩恰好抵消——这个点就是重心：重力系合力真正的作用点。它的坐标是「按重量加权平均」：x̄ = Σ(Wixi)/ΣWi，ȳ、z̄ 同理。均质物体的重量与体积成正比，权重退化为纯几何量，重心只由形状决定——此时它改叫形心；「均质物体重心与形心重合」是横跨静力学、材料力学与动力学的公共结论。
重心位置绝不是一个「几何注脚」：它直接决定支承反力的分配——同一台设备换个方向吊装，两吊点的受力比立刻改变；重心若偏离支承中心，还会额外贡献倾覆力矩，这正是「对重」「配重」设计要主动摆放的量。数值计算时把物体切成重心已知的简单块，逐块「称重、记账、加权平均」，公式就落成了最实用的算法。
算一个小例子：阶梯轴由两段共轴圆柱组成，粗段长 0.2 m、重 40 N，细段长 0.3 m、重 30 N，以粗段左端为原点沿轴向取 x 轴。粗段重心在 x = 0.1 m，细段重心在 x = 0.2 + 0.15 = 0.35 m，于是 x̄ = (40 × 0.1 + 30 × 0.35)/(40 + 30) = (4 + 10.5)/70 = 14.5/70 ≈ 0.207 m。总长 0.5 m 的几何中点在 0.25 m，重心却落在 0.207 m——偏向较重的粗段。加权平均的直觉就在这里：谁重，重心向谁靠；若两段同材料同直径，重量比退化成长度比，重心回到纯几何的形心位置。
本章小结
- 空间力对点的矩是矢量：MO = r × F，方向由右手定则确定。
- 力对轴的矩：取力在垂直轴的平面内的投影乘垂直距离，平行轴的分量无贡献。
- 对轴的矩 = 对点的矩矢量在轴上的投影，点矩是全集、轴矩是分量。
- 空间一般力系平衡需六个方程（三力三矩），是平面三方程的推广。
- 空间力偶矩矢是自由矢量，力偶系按矢量多边形合成；平衡条件是矩矢矢量和为零。
- 空间约束价目：球铰 3、向心轴承 2、向心推力轴承 3、固定端 6；单物体未知量 ≤ 6 才静定。矩轴尽量与多个未知力平行或相交。
读完本章，你应该能……
- 用矢积 r × F 定义空间力矩，并用右手定则判断方向。
- 计算力对轴的矩，说清为何平行轴的分量无贡献。
- 说明「对轴的矩」与「对点的矩」的关系。
- 写出空间一般力系的六个平衡方程。
- 解释平面三方程是空间六方程的退化特例。
- 用分量式计算 r × F，并逐个分量说出「绕哪根轴、往哪边转」。
- 列出力与轴共面时对轴之矩为零的两种情形（平行、相交）。
- 按约束价目表清点空间问题的未知量，判断静定与否。
思考题
1. 一个力平行于 z 轴，它对 z 轴的矩是多少？为什么？
提示：为零。因为力在垂直 z 轴的平面内的投影为零，且平行轴的分量对绕轴转动无贡献。
2. 「力对点的矩」和「力对轴的矩」谁包含的信息更多？它们怎么联系起来？
提示：对点的矩是矢量，信息更完整；对轴的矩是对点矩矢量在该轴上的投影分量。
3. 为什么空间一般力系恰好需要六个平衡方程？
提示：空间自由刚体有六种独立运动（三平动、三转动），每堵住一种需要一个方程，故六个。
4. 右手定则在判断力矩方向时，四指和大拇指分别表示什么？
提示：四指从 r 握向 F，大拇指指力矩 M 的方向。
5. 例题 2 中，把手上的竖直分量 30 N 对门轴的矩是多少？它真的「没用」吗？
提示：对 z 轴的矩为零（平行轴），但对 x、y 轴的矩不为零——它与水平分量一起构成对门轴与铰链的旁侧载荷（Mx、My）。「白搭」只针对绕门轴的转动，不是从受力图上消失。
6. 为什么力对轴的矩是标量，而力对点的矩是矢量？
提示：轴一经指定，转动只剩顺/逆时针两个选项，一个带符号的数就够；而对点转动时轴线方向本身待定，需要矢量携带「轴线指向 + 大小」。
7. 例题 4 的六个方程中，哪一个自动满足？哪五个真正干活？
提示：ΣFx = 0 自动满足（无轴向力，0 = 0）；ΣFy、ΣFz、ΣMy、ΣMz 解四个轴承未知量，ΣMx 校核转矩平衡。退化方程帮不上忙，但也不添乱。
8. 空间力偶矩矢为什么可以「随便搬」，而力对点的矩不行？
提示：力偶的外效应只由「大小 + 作用面方位 + 转向」决定，与面内具体位置无关（第 4 章三性质的空间推广），故为自由矢量；力对点的矩 M = r×F 中的 r 依赖矩心，矩心一动它就变（第 5 章移轴公式的空间版）。
9. 力 F = (30, 40, 50) N（三分量均沿坐标轴正向）作用于点 A(0.2, 0.3, 0.1) m。求它对 x、y、z 三根轴的矩。
提示：按坐标公式逐轴代入：Mx = yFz − zFy = 0.3 × 50 − 0.1 × 40 = 15 − 4 = 11 N·m；My = zFx − xFz = 0.1 × 30 − 0.2 × 50 = 3 − 10 = −7 N·m；Mz = xFy − yFx = 0.2 × 40 − 0.3 × 30 = 8 − 9 = −1 N·m。三个分量合起来正是力对原点的矩矢 MO = (11, −7, −1) N·m——点矩是矢量，轴矩是它在对应轴上的投影，这一题把 6.3 节的关系式算成了一次实感。
10. 均质物体的重心与形心何时重合？非均质时两者如何区分？解题时这步判断为什么值得单独做？
提示：均质物体密度处处相同，各微元重量与体积成正比，加权平均里的「重量权重」退化为「体积权重」，重心只由几何形状决定，与形心重合。非均质时（不同材料的组合件、带配重的结构）重量分布与体积分布不再一致，重心偏离形心、偏向较重的一侧。做题先判断「均质与否」，再决定用体积权重还是重量加权——把这一步写进解题流程，能拦下一大类「公式背对、权重用错」的事故；到动力学里重心还换一个名字叫质心，但「按质量加权」的算法原封不动。