第 8 章　点的运动学

8.1位矢：用箭头锁定一个点的位置

要描述一个点「在哪」，最直接的办法是：在空间里选一个固定点 O（叫原点），然后画一个从 O 指向该点的箭头。这个箭头叫 位矢（位置矢量），记作 r。

参考系：位置没有「绝对」的意义

说「某点在某处」之前，必须先回答「相对谁」。坐在高铁上的乘客，相对座椅静止，相对站台却以 300 km/h 飞驰——同一时刻、同一个点，两套答案都对，因为参考系不同。位矢永远是从某个指定原点出发的箭头：换一个原点，位矢就换一套数值。运动学开工前的第一道工序就是选参考系：通常取地面或固定支架为原点，把坐标轴建在运动最对称的方向上。本章默认参考系固定不动；到第 10 章「点的合成运动」讨论参考系本身也在动的情形时，这里建立的概念会整体升级。

工程上还有第二种常用的位矢语言——极坐标：用「距离 + 方位角」锁定位置。雷达站报告目标「距离 8 km、方位北偏东 30°」，说的就是极坐标位矢；它与直角坐标可以互相换算（x = r cos θ、y = r sin θ），只是翻译方式不同。位矢的「三要素」检查法：一个位矢 = 原点 + 方向 + 大小，写 r(t) 前先确认三样都交代清楚了。

辨析：位移 ≠ 路程

Δr 是位移——从起点直指终点的矢量；Δs 是路程——沿轨迹实际走过的长度。绕操场跑一圈回到起点：位移为零，路程 400 m。位移是矢量、可以回退、可以为零；路程是标量、只增不减。两者只在单向直线运动中数值相等。这个区分不是咬文嚼字：「平均速度 = 位移 ÷ 时间」「平均速率 = 路程 ÷ 时间」的定义分野正来源于此——绕圈跑一圈的平均速度为零，平均速率却清清楚楚。

工程应用：雷达跟踪目标，本质是每隔固定时间测一次位矢（方位角 + 距离），前后两帧之差给出速度——进近管制、无人机避障、机械臂末端定位，都建立在「位矢随时间连续可测」上。卫星导航接收机输出的数学结果，正是接收机相对地心坐标系的三维位矢；组合导航系统做的，是把这个位矢「填满」两个测量时刻之间的空隙。

位置的三种语言

同一个位置，至少有三种常用「说法」，各自服务不同场景：

选哪种语言，看「谁最容易测量」：雷达天生说极坐标，里程表天生说弧坐标。弧坐标是 8.5 节自然坐标法的第一块基石——先把「沿轨迹量多远」说清，切向、法向才有落脚点。

还有一层推论值得品味：换参考系，连轨迹形状都会变。车厢里把小球竖直向上抛，车厢里的乘客看它沿一条直线直上直下；站台上的人看到的却是一条抛物线。同一个运动，两套描述都对——「轨迹」「速度」「加速度」都是相对某个参考系而言的概念，先问「相对谁」再谈运动，是全书反复出现的第一习惯。

本章全部概念将沿「位置 → 速度 → 加速度」的导数链条展开：每一次求导，都把「随时间变化」的快慢信息提取成下一阶描述量；每一次积分，都沿原路把变化率还原回上一阶。导数是钥匙，积分是回程票——带上第 5 章打磨的这件工具，我们正式出发。

8.2速度：位置的变化率

点动起来了，位置在变。怎么描述「变得多快」？看一小段时间 Δt 内，位矢变化了多少 Δr。这个「位置变化量除以时间」的比值，在 Δt 越来越小时趋近于一个确定的量，就是 速度：

v = dr/dt

从平均到瞬时：导数思想的第一次落地

「Δt 内位矢平均变化多快」叫平均速度 v̄ = Δr/Δt。它只能描述一段过程的总体效果：前半程快后半程慢，平均完一个样。把 Δt 一路缩小，位移弦 Δr 的方向越来越贴近轨迹切线、长度越来越接近弧长 Δs，比值 Δr/Δt 稳定趋向一个极限——这就是瞬时速度 v = dr/dt。可以说，「速度」这个概念本身就是极限思想的产物：没有 Δt→0，就没有「瞬时」二字；高数里的导数在这里第一次找到物理归宿。

两个立刻能用的推论：①速度方向沿轨迹切线——Δr 的极限方向就是切线方向；②速率 |v| = ds/dt，速度大小等于弧长对时间的导数。矢量回答「朝哪、多快」两个问题，「速率」只保留后半问。

还要体会一点：速度是矢量，所以「速度变了」有三种可能——大小变（踩油门）、方向变（打方向）、两者都变（过弯加速）。只要 dv/dt ≠ 0 就存在加速度，这个观察为下一节做好了铺垫。

工程应用：流场测速中的「粒子图像测速」（PIV）把无数示踪粒子前后两帧照片的位矢差除以曝光间隔，得到整个流场的速度分布——本章的定义式在仪器里被逐字逐句地执行。雷达测速（回波频移）、汽车轮速传感器（弧长 ÷ 时间），测的也都是同一件事；不同技术的差别只在「用什么手段拿到位矢序列」。

顺带看一眼实验端的做法：仪器测不到「瞬时」，只能测「一小段时间内的平均」——采集两帧位置、相除。Δt 取得太大，平均速度偏离瞬时值；取得太小，测量噪声又被放大。工程采样间隔的选择，就是定义式 v = Δr/Δt（Δt→0）在现实里的折中：定义无限精，测量有限准，两者之间的鸿沟由「合理采样」来搭桥。

再复习一个把矢量思维擦亮的结论：速度既然是矢量，就可以按平行四边形法则分解与合成。渡河问题里，船对水的速度与水流速度合成出船对岸的速度；上一章刚学的力的平行四边形，在这里换了个主角重新登场——矢量代数贯穿静力学与运动学，是全书通用的「语法」。

辨析：限速牌「120」指速率；「以 5 m/s 向东北」才是速度。另外「平均速度的大小」不等于「平均速率」——前者是 |Δr|/Δt，后者是 Δs/Δt，绕圈一整圈时前者为零、后者非零。考试里这两个词一换，答案就换了。

运动图像：另一种「记账方式」

位置、速度、加速度除了写公式，还可以画成随时间变化的曲线，三张图能互相「翻译」：

读图要点：s–t 图直线 = 匀速；v–t 图水平线 = 匀速、倾斜直线 = 匀变速、曲线下净面积 = 总位移。例题 3 那条「先升后降」的速度曲线，就是 v–t 图最典型的戏码——峰顶正对应加速度过零。图像法在工程测试中无处不在：数据采集系统记录的正是这类曲线，工程师第一眼看的往往不是公式，而是曲线的形状。

8.3加速度：速度的变化率

速度本身也在变——变快、变慢、或者转弯（方向变）。描述「速度变得多快」的量，就是 加速度，它是速度对时间的一阶导数，也就是位矢对时间的二阶导数：

a = dv/dt = d²r/dt²

这里有个零基础最容易踩的坑：速度大不代表加速度大，速度为零也不代表加速度为零。一个质点抛出后到最高点的一瞬间，速度为零，但加速度仍是重力加速度 g，不为零。加速度关心的是「速度正在怎么变」，而不是「速度现在多大」。

加速度的方向，透露运动的「剧情」

看 a 与 v 的夹角就能判断剧情：夹角小于 90°（v·a > 0）点在加速；大于 90°（v·a < 0）点在减速；恰好 90° 则速率不变、纯转弯。这个判据对任意曲线运动都成立——把加速度沿「速度方向」与「垂直速度方向」分解，前者改变快慢（切向），后者改变方向（法向）。8.5 节会把这套分解升级为正式工具。

再巩固本章最重要的坑：v = 0 不代表 a = 0。竖直上抛到最高点，速度恰好为零，但加速度全程都是 g——因为「下一瞬间」速度就要变成向下，变化率从未消失。反过来 a = 0 也不代表静止：匀速直线飞行的点加速度为零，却在飞驰。加速度只描述「速度正在怎么变」，与「现在多快」「现在在哪」都没有直接对应关系。

还要指出：加速度是矢量，它的大小与方向不依赖坐标系的选取——换一个坐标系，分量 (a_x, a_y) 会换一套数值，但合成的加速度矢量（以及它的物理效果）不变。这是「矢量」二字带来的坐标系无关性，也是第 9 章讨论刚体转动时反复使用的性质。

工程应用：汽车碰撞试验关注的正是加速度峰值而不是速度本身——乘员伤害程度由过载决定；安全气囊与安全带的使命，都是把剧烈的减速过程在时间上拉长，把峰值加速度压下来。机床急停、电梯制停、飞行器着陆缓冲，设计的核心指标同样是「允许的最大加速度」。

匀变速直线运动：公式族与适用条件

加速度恒定时，三个公式组成「全家桶」：v = v₀ + at；s = v₀t + ½at²；v² = v₀² + 2as。三者只有两个独立（可互相推出），按「已知什么、求什么」挑最省事的一个。适用条件只有一条：a 必须恒定。例题 3 里 a = 4 − 2t/3 随时间变，公式族全体失效，只能老老实实积分——「先看加速度是不是常量，再决定套公式还是积分」，是处理直线运动的第一反应。

8.4直角坐标法描述运动

把位矢投影到固定的 x、y 坐标轴上，点的运动就用两个坐标函数描述：

x = x(t)，　y = y(t)

这两个式子叫运动方程。消去时间 t，得到 y = f(x)，就是点的轨迹方程。速度、加速度也分解到坐标轴上：

v_x = dx/dt，　v_y = dy/dt

a_x = d²x/dt²，　a_y = d²y/dt²

直角坐标法的好处是简单直观：把运动拆成「水平」和「竖直」两个互不干扰的分量，分别处理。平抛运动就是经典例子——水平方向匀速、竖直方向自由落体。

为什么敢「各算各的」：分量独立性的来历

把运动拆成 x、y 两个互不干涉的分量，靠的是一个物理事实：地球表面的重力只沿竖直方向，对水平运动没有任何牵扯——平抛的「平」与「抛」各过各的日子。这背后是更普遍的叠加原理：只要描述运动的方程是线性的，几个同时进行的简单运动就可以分别计算、直接叠加。平抛 = 匀速直线（x）+ 自由落体（y）；乐器音色 = 基音 + 泛音；多电源电路 = 各电源单独作用之和——线性世界都遵守「分而治之」，运动学是这条原理登场的第一个舞台。

用这套语言，平抛的完整账目三行写完：x = v₀t（匀速）、y = ½gt²（匀加速）、消去 t 得 y = gx²/(2v₀²)——一条抛物线。要「何时在哪」查运动方程，要「路线形状」查轨迹方程，两套档案各有用途。

工程应用：航空救援投放物资前要算的「提前量」就是 60 m 这类数字——必须在距目标还差一个水平距离时就开始投放；喷灌水枪按 v₀ 与出水高度估算射程；跳台滑雪运动员离台后的飞行轨迹同样按「水平匀速 + 竖直落体」首估，再叠加空气阻力修正。

顺带把「提前量」往深处推一步：投放高度越低、速度越快，提前量越小（x = v₀√(2h/g)），但留给系统的操作时间也越短——工程量从来不是孤立的数字，要连着「反应时间」一起看。同样的思路出现在喷灌仰角（无阻力时 45° 射程最远，计入空气阻力后约 35°~40° 更优）与跳台滑雪的起跳姿态优化里：公式给出骨架，约束决定取舍。

辨析：运动方程（含 t）是运动的完整档案，轨迹方程（消去 t）只是路线图——查「什么时候走到哪里」必须回到运动方程。此外，直角坐标的轴方位固定不变；这一点与 8.5 节「坐标架跟着点走」的自然轴系形成鲜明对照，也决定了两套方法各自的适用场景。

分量法的通行证：恒定加速度

平抛只是分量法的第一个应用。只要加速度恒定且方向已知，分量法就通行：斜抛把初速度分解为 v₀cosθ（水平，匀速）与 v₀sinθ（竖直，先减速再加速），两个方向各套各的匀变速公式；带电粒子垂直射入匀强电场，受恒定电场力，轨迹与平抛同构——只是把 g 换成 qE/m。加速度一旦随时间或位置变化，分量方程就要升级为微分方程，用第 5 章的积分工具处理——例题 3 已是这种情形的预演。

分量法收尾同样有检验套路：把 x(t)、y(t) 求导再合成，验证 |v| = √(v_x² + v_y²) 与直觉一致；把特殊点（起点、落地点）代回轨迹方程核对；最后做数量级扫描——平抛几秒钟、几十米，若算出几分钟或几公里，必有一步出错。「落地时间与 v₀ 无关」这类反直觉结论，也值得换两个 v₀ 重算一遍：若结果对 v₀ 敏感，推导必有诈。

分量法的最后一个提醒：坐标轴虽可任选，但选得好坏直接决定计算量——平抛沿水平、竖直分解，两行搞定；若沿斜方向分解，两个分量方程立即互相纠缠。选轴的黄金准则：让尽可能多的矢量（尤其是恒定的加速度）只落在少数几根轴上。这个准则在下一章选转动轴、第 10 章选动系时还会反复出现。

8.5自然坐标法：切向与法向加速度

有些运动（尤其曲线运动），用「沿轨迹」的眼光看更自然。于是我们沿轨迹建立一套坐标：以点的位置为原点，切向（沿轨迹切线，指向前进方向）和法向（垂直切线，指向轨迹凹侧）。这就是 自然坐标法。

在这套坐标下，加速度被拆成两个分量，物理意义极其清晰：

自然轴系：让坐标「跟着点走」

当轨迹形状已知——铁轨、跑道、管道、凸轮槽——再硬套直角坐标就别扭了。此时最自然的坐标是「沿轨迹量多远（弧坐标 s）+ 在该处轨迹朝哪弯（切向 τ、法向 n）」。切向单位矢量 τ 沿轨迹切线指向前进方向，法向单位矢量 n 垂直 τ、指向轨迹凹侧——它们不是固定坐标轴，而是随点的位置实时重建的活动坐标架。这是它与直角坐标的本质区别：直角坐标「轴不动、点在动」，自然坐标「轴跟着点走」。

弧坐标的记账规则也要先立好：s 是带符号的代数量——沿轨迹选定一个正方向，顺向为正、逆向为负，t = 0 时刻的位置记作 s₀；而路程 Δs 只增不减。这样「s 从 3 m 回到 3 m」可以对应完全不同的过程，账目却始终清楚。弧坐标形式的运动方程 s(t) 与 x(t)、y(t) 一样，是含时间的完整档案。

曲率半径的几何来历

轨迹弯得有多厉害，用曲率 κ 度量：走过弧长 Δs，切线方向转过了角度 Δψ，κ = lim(Δψ/Δs)——单位弧长上切线的转角。曲率半径 ρ = 1/κ 是「弯的程度」的倒数：直线 κ = 0、ρ = ∞（永不弯）；圆周 κ = 1/R、ρ = R（处处一样弯）；一般曲线各点 ρ 不同——抛物线顶点最平缓、ρ 最大，越往开口两翼 ρ 越小、弯得越急。几何上，ρ 就是通过该点、与轨迹「贴合到二阶」的圆（密切圆）的半径：在足够小的一段上，用这个圆替代轨迹几乎分不出差别。

a_n = v²/ρ 的完整推导

把速度按自然轴系写成 v = v·τ（v 是带符号的速率）。对时间求导：a = d(v·τ)/dt = (dv/dt)·τ + v·(dτ/dt)。第一项就是切向加速度 a_τ = dv/dt，负责改变速度大小。第二项里 dτ/dt 是单位切矢的转动率——τ 只改变方向不改变大小，走过 Δs 它转过的角度等于切线转角 Δψ = Δs/ρ，于是 |dτ/dt| = v·(dψ/ds) = v/ρ，方向沿法线指向凹侧。合并得：

a = (dv/dt)·τ + (v²/ρ)·n

结论清晰：切向加速度 a_τ = dv/dt 改变速度大小；法向加速度 a_n = v²/ρ 改变速度方向、永远指向凹侧。匀速圆周运动只是特例：dv/dt = 0、ρ = R，a_n = v²/R 指向圆心——中学熟悉的「向心加速度」在这里获得了普适出身。还要注意 a_n 恒为非负：它只表达「正在转弯」这件事，从不区分顺转逆转，方向信息已由 n 的定义（指向凹侧）自动携带。

由此得到一条极好用的直觉：全加速度永远偏向轨迹凹的一侧。把 a_τ 与 a_n 合成，只要 a_n > 0（在转弯），合矢量就必定落在法线指向的那半边；只有直线运动（ρ → ∞、a_n = 0）才退化成沿切线。反过来它也是验错利器：若算出的加速度指向轨迹凸侧，几乎可以断定哪里符号错了——这一直觉在第 9 章判断转动方向时还会再立功。

两套语言，一个矢量

同一个加速度，直角坐标说 (a_x, a_y)，自然坐标说 (a_τ, a_n)——矢量只有一个，投影语言不同。什么时候用哪套？轨迹已知（弯道、管道、轨道）用自然坐标最顺：弧坐标直接给出位置，a_τ/a_n 直接对应「加减速」与「过载」；方向已知（导航、控制的固定方位）用直角坐标最顺：分量方程直接对接传感器读数。两套坐标不是对立的门派，而是同一份运动的两种记账方式，工程师按题目结构选账本。

角量与线量：圆周运动的「翻译词典」

词典的使用规则：R 是「点到转轴的距离」，同一个 R 把四对量全部翻译。特别注意法向项有两种写法——Rω² 与 v²/R——手里握角量用前者、握线量用后者。这张表正是下一章刚体定轴转动核心公式 v = rω、a_τ = rα、a_n = rω² 的前身：刚体上每个点都在做圆周运动，只是各自的 R 不同。

辨析：三组最容易混的概念

①dv/dt 与全加速度大小：a_τ = dv/dt 中 v 是速率（代数值），a_τ 可正可负；总加速度大小 a = √(a_τ² + a_n²) 才是「全加速度的模」。②匀速率 ≠ 无加速度：a_τ = 0 而 a_n = v²/ρ ≠ 0，匀速转弯全程有加速度，例题 7 的半圆弧就是明证。③速度方向变，切向法向就重建：自然坐标架是「一次性」的，每个时刻一套 τ、n，上一时刻的答案不能搬到下一时刻用。

工程应用：铁路弯道的设计速度由 a_n = v²/R 决定——过弯太快，就靠外轨超高让重力分量帮忙补足向心需求；离心机、旋转机械的叶尖过载同样是 v²/R 的台账（第 9 章将把它升级成 rω²）。飞行员盘旋时体感的「过载」就是法向加速度与 g 的比值，通用工程规范里过载系数是硬指标。

算一笔身边的账：汽车以 20 m/s（72 km/h）驶过半径 200 m 的弯道，a_n = v²/R = 400/200 = 2 m/s² ≈ 0.2g——乘员被「甩向弯道外侧」的体感正来自它。道路设计把外侧路面抬高一个小角度，让重力沿斜面的分量分担法向需求；平路则全靠轮胎侧向摩擦提供（回到第 7 章 f_sN 的台账）——上一章的摩擦与本章的法向加速度，在弯道设计里胜利会师。

把这笔账再推到机械端：直径 300 mm 的砂轮以 6000 r/min 旋转，边缘线速度 v = ωR = 628×0.15 ≈ 94.2 m/s，法向加速度 a_n = v²/R ≈ 5.9 × 10⁴ m/s²——约 6000g。这就是砂轮被「箍住」的应力来源，也是超速使用砂轮会爆裂的原因：v 翻一倍，a_n 翻两番，材料可能瞬间超出许用。旋转机械的转速红线，本质是 v²/ρ 的台账。

衔接下一章：本章把「一个点」的运动描述彻底办完了。刚体无非是无数个距离不变的点，但这个约束让刚体只需两种基本运动就能拼出来——平动（所有点共享同一个点的运动）与定轴转动（所有点绕同一根轴做圆周运动，v = rω、a_n = rω² 直接复用本章圆周运动的全部结论）。点的运动学是零件，刚体运动学是组装车间。