第 10 章　线性变换

10.1什么是线性变换

一个 变换（transformation），就是一个「规则」：吃进一个向量，吐出一个新向量。记为 T(v)。

但不是所有变换都叫「线性」。线性变换必须满足两条：

• 可加性：T(u + v) = T(u) + T(v)（先加后变换 = 先变换后加）；
• 齐次性：T(kv) = k·T(v)（先缩放后变换 = 先变换后缩放）。

这两条的几何后果非常直观：

想象一块平整的橡皮膜，你可以在上面拉伸、旋转、倾斜，但不能「揉出褶皱」或「把某点撕开」。这样的「平滑、保直、保原点」的形变，就是线性变换。

深挖：为什么偏偏是这两条定义

初学者常问：定义为什么不干脆说「直线变直线、原点不动」，而非要摆两条代数性质？因为代数性质才可计算、可逐条检验——「直线变直线」无法用一个公式验证，而 T(u+v)=T(u)+T(v) 与 T(kv)=k·T(v) 都能代入具体数字做检查。两条合并成一条，就是「线性」二字的全部分量：

T(c₁u + c₂v) = c₁·T(u) + c₂·T(v)

它还能一路推广到任意有限项：T(c₁v₁+…+c_nv_n) = c₁T(v₁)+…+c_nT(v_n)。由此得到一个杠杆原理：想知道 T 对整个空间做了什么，只需知道它对基向量做了什么——其余向量都是基向量的线性组合，而线性组合可以原样「穿过」变换。下一节「矩阵由两列唯一确定」，全部依据在此。

两条定义还附赠几个免费结论。零向量必映到零向量：T(0) = T(0·v) = 0·T(v) = 0——「原点不动」不是额外要求，而是齐次性的必然推论。相反向量映到相反像：T(−v) = −T(v)。等分点保持：线段中点 (A+B)/2 变换后仍是两个像的中点，因为 T((A+B)/2) = (T(A)+T(B))/2。所以均匀网格变换后仍是平行等距的网格，不会「一头疏一头密」。

反过来，破坏其中任何一条，变换立刻「露馅」。三类最典型的非线性伪装者值得一次认清：

• 平移 T(v)=v+(1,0)：T(0)≠0，原点被整体搬走，网格「搬家」而非「变形」；
• 取绝对值 T(x,y)=(|x|,y)：T(−1,0)=(1,0) 而 −T(1,0)=(−1,0)，负数上齐次性翻车，左半平面被「折」过去；
• 平方 T(x,y)=(x²,y)：T(2,0)=(4,0) 而 2·T(1,0)=(2,0)，输入翻倍、输出翻四倍，网格被不均匀拉伸。

工程场景：航电与惯导系统中，三轴加速度计固定在机体上，读出的是「机体系」分量；要得到「导航系」的速度增量，必须每个采样周期乘上当前姿态的旋转矩阵。这个操作必须是线性的——毫秒级周期里只负担得起矩阵向量乘法，而且只有线性才能让误差随叠加可分析。传感器标定、坐标转换、网格变形，背后是同一句话：把物理世界的连续形变限制在线性范畴，才能用矩阵高速计算、误差可控。

为什么工程师较真「线性 vs 仿射」这顶帽子？因为两类变换的处理管线不同：线性变换可以全程用「矩阵乘向量」叠加、合并、求逆；仿射变换多出一个平移量，软件里通常拆开处理——旋转缩放部分进 3×3 矩阵、平移量单独放第四列。仿真器每帧更新位置用「位移累加」（仿射的味道），更新姿态用「矩阵连乘」（纯线性）——两者混用是渲染与仿真代码里最经典的 bug 来源之一。概念上分清，代码里才不会把「点」当「向量」去乘。

最后把「变换」放进更广的地图：变换本质上是函数——定义域与值域都是向量集合的函数，而「线性变换」就是「保持加法与数乘两种运算结构的函数」。这与「连续函数保持极限结构」是同一种思维：先想清楚要保留什么性质，再给函数戴上紧箍咒。约束越强，能刻画的结构定理越深。线性代数之所以叫「代数」，正因为它研究的是「保运算的函数」可以被刻画到什么程度——答案惊人：平面上的全部均匀形变，只需一张 4 个数的表格就能写尽。

直观理解也值得再升级一层：线性变换不是只有「拉伸旋转」一种画面，而是一切满足「网格变网格」的形变家族——剪切像推一摞牌，投影像把影子拍在墙上，镜像像湖面倒影。本节开头的经典变换不是几个孤例，而是这个家族里气质最鲜明的几张「证件照」：恒等代表「不动」，缩放代表「只改尺度」，旋转代表「只改方向」，剪切代表「改夹角不改面积」，投影代表「降维」。拿到任何矩阵都先问一句「它像谁」，这个习惯会让后面的学习事半功倍。

10.2线性变换 ↔ 矩阵

一个深刻的结论：每个线性变换，都恰好对应一个矩阵；每个矩阵，也都对应一个线性变换。

怎么对应？用第 5 章的方法——看基向量的去向。给定线性变换 T，只要知道 T 把两个基向量 (1,0)、(0,1) 送到哪里，就能写出矩阵：

矩阵的第 1 列 = T(1,0)，　矩阵的第 2 列 = T(0,1)

反过来，给定矩阵，它的两列就是基向量的去向，从而完全确定变换。这就是为什么线性代数里「矩阵」和「线性变换」可以互换使用。

推导：为什么「基向量的去向」能决定一切

这个一一对应值得亲手推一遍。设 T 是平面线性变换，任取向量 v=(a,b)，先拆成基向量的组合：

v = a·e₁ + b·e₂，　e₁=(1,0)，e₂=(0,1)

利用上一节的「线性组合穿过变换」：

T(v) = T(a·e₁ + b·e₂) = a·T(e₁) + b·T(e₂)

把两个像的坐标写出来：设 T(e₁)=(m₁₁, m₂₁)、T(e₂)=(m₁₂, m₂₂)，代入得

T(v) = a·(m₁₁, m₂₁) + b·(m₁₂, m₂₂) = (m₁₁a + m₁₂b,　m₂₁a + m₂₂b)

最后这行正是第 4 章的矩阵乘向量：把四个 m 按列排成 M=[[m₁₁,m₁₂],[m₂₁,m₂₂]]，就有 T(v)=Mv。看下标规律：m_ij 中，j 指第 j 个基向量的像，i 指该像的第 i 个坐标——所以像必须按「列」填进矩阵，这就是「矩阵的列 = 基向量的去向」的完整推导。

这也解释了矩阵的「自由度」：2×2 矩阵恰好 4 个数 = 2 个基向量的像 × 各 2 个坐标，不多不少。线性变换再复杂，全部信息都浓缩在基向量的去向上——想构造一个线性变换，只需随手画两个箭头（e₁、e₂ 的新位置），矩阵就定了；反过来拿到矩阵，把两列画成箭头，变换的几何图像立刻显形。「代数↔几何」这座桥，从此双向通车。

做个小实验感受「一一对应」：随手在纸上画两个箭头——比如 (2,0) 和 (1,3)——就等于发明了一个新变换（矩阵 [[2,1],[0,3]]）。用拇指按住原点，想象整个网格被拖着变形：e₁ 被拖到 (2,0)（x 方向拉长一倍）、e₂ 被拖到 (1,3)（斜着拉长）。纸上的每个点 v，都会被送到「新基下同系数的组合」处。这个小实验说明：矩阵不是一张干巴巴的「数字表」，而是一份「搬动说明书」——四个数字写明 e₁、e₂ 的新家，其余一切点自动各就各位。

工程场景：机翼结构分析前，要把翼肋上数百个网格节点从「局部图纸坐标」搬到「全机坐标」，做法是给每个节点坐标左乘同一个安装角度矩阵（旋转＋缩放）。正因为变换线性，图纸上的直杆变换后仍是直线、平行桁条变换后仍平行，几何关系无损搬进全机模型。装机复查时抽查的正是例题 2 的思路：挑两三个「基方向」上的节点，看它们是否被送到了正确位置——基对了，整个网格就对。

顺手做一次全书会师：矩阵向量乘法 Mv 同时是三个角色——几何上，它是「变换 M 作用于点 v」（本章）；组合上，它是「M 的各列按 v 的分量加权合成」（例题 2 的 ④）；方程上，「求 x 使 Mx=v」是第 6 章的主角。三个视角在例题 2 里全部出场过：用组合视角拼出矩阵，用方程视角验算乘法，用几何视角想象两个箭头张成的新网格。以后凡遇矩阵，先问一句「此刻我在用哪个视角」——切换自如之后，线代题目的难度会肉眼可见地下降。

10.3五种经典变换

下面五种变换，是理解一切复杂变换的「积木」。观察每种变换把单位正方形（灰框）变成什么。

① 恒等变换：什么都不做

矩阵 I = [[1,0],[0,1]]。基向量原地不动，正方形保持原样。它是「零动作」，也是所有变换的「单位」。

② 缩放：沿坐标轴拉伸/压缩

矩阵 [[s₁,0],[0,s₂]]：x 方向缩放 s₁ 倍、y 方向缩放 s₂ 倍。当 s₁=s₂ 时叫「均匀缩放」，图形只是等比例放大；不相等时是「各向异性缩放」，正方形变矩形。

值得把缩放矩阵的两条「退化路线」看清楚——五种积木其实是相通的。其一，均匀缩放 s₁=s₂=s 是相似变换：只改大小、不改形状，网格仍是正交网格，一切夹角不变；工程上等比放样、图纸按 1:50 出图，用的都是它。其二，缩放系数走向极端时会「变身」：s₂→0 时缩放退化为投影（y 方向被彻底压没）；s₂=−1 时它变成镜像（y 方向翻转）。可见「积木」并非孤岛，而是同一家族里参数取极端值时的不同面孔——这也是工程师喜欢把一切坐标变换拆成「旋转×缩放×旋转」的原因（第 12 章会兑现这个直觉）。

工程场景：结构设计中「等强度」思想落在缩放矩阵上就是各向异性缩放——按弯矩分布调整截面尺寸，相当于对几何施加不均匀缩放；实测载荷折算为设计载荷时的「载荷系数」，则是均匀缩放的日常形态。缩放是所有变换中唯一「不动任何方向」的：坐标轴在缩放下原样保留，这也让它在分解复杂变换时充当「主干」。

③ 旋转：绕原点转动

逆时针旋转 θ 角的矩阵是 [[cosθ, −sinθ],[sinθ, cosθ]]。旋转不改变图形的大小和形状，只改变朝向——所以它的行列式恒为 1（第 7 章那个「旋转面积不变」的例子）。

深挖：旋转矩阵为什么长这样

[[cosθ,−sinθ],[sinθ,cosθ]] 不是硬背的口诀，而是「基向量去向法」现推的结果。让 e₁=(1,0) 逆时针转 θ：按三角函数定义，它落在单位圆上角度 θ 处，坐标正是 (cosθ, sinθ)——这就是第 1 列。e₂=(0,1) 原在 90° 位置，转 θ 后到 90°+θ 处，用诱导公式 cos(90°+θ)=−sinθ、sin(90°+θ)=cosθ，所以 e₂ 的像是 (−sinθ, cosθ)——这就是第 2 列。两列一拼：

R(θ) = [[cosθ, −sinθ],[sinθ, cosθ]]

这个推导顺带解释了旋转矩阵的三大性质：每列长度为 1（基向量转动不伸缩，单位圆被映成单位圆）；两列互相垂直（正交基转完仍是正交基）；行列式 cosθ·cosθ−(−sinθ)·sinθ = cos²θ+sin²θ = 1（面积不变）。这样的矩阵有专名——正交矩阵（orthogonal matrix），标志是与自己的转置相乘得单位矩阵：R(θ)ᵀ·R(θ)=I，即「转置就是逆」：往前转 θ 的撤销操作就是往回转 θ，而代数上恰是取转置。姿态解算、坐标转换的代码里满屏都是正交矩阵，根源就在这里。

一个高频辨析：矩阵 [[cosθ, sinθ],[−sinθ, cosθ]]（注意 sin 的符号位置互换）是顺时针旋转 θ。它与逆时针版本互为转置、也互为逆——「逆时针转 θ 的撤销」就是「顺时针转 θ」。记忆锚点用例题 3 的办法：把 e₁=(1,0) 代进去，看它落向第一象限（逆时针）还是第四象限（顺时针）。角度以「逆时针为正」的约定来自右手系传统，数学教材与工程图纸一致，例题与手册不必再各自声明。

工程场景：惯导解算的每一步都在乘旋转矩阵：机体的俯仰、滚转、偏航各对应一个旋转矩阵，连乘成一个「姿态矩阵」，把传感器坐标系的读数换算到导航系。因为旋转矩阵是正交的（转置=逆），「求逆」不放大误差，且轴之间的夹角关系永远保持——这是姿态算法敢在毫秒级循环里反复连乘的底气。显示器画面随载体姿态转动、雷达天线随扫描角旋转，屏幕坐标刷新用的也是同一个 R(θ)：角度每变一小步，矩阵就重算一次，屏幕上成千上万个坐标点逐个左乘，全部是「矩阵×向量」。

④ 剪切：把正方形「推斜」

矩阵 [[1,k],[0,1]] 表示「剪切」：x 坐标不动，y 每增加 1，x 就被水平方向多推 k 格。正方形被「推」成平行四边形。

剪切的物理原型随处可见：流体流过平板时，贴壁一层几乎不动、离壁越远流速越大，速度剖面就是一个「剪切场」；一摞纸放平，手掌推最上面一张，纸层层层错动，也是剪切。参数 k 的几何含义要读准：y 每升高 1 格，x 就多推进 k 格——k 是「水平错动量随高度的变化率」。剪切不改变面积（det=1），却会改变对角线方向与夹角；特别地，水平剪切下任何竖直线都变斜，而水平线纹丝不动——e₁ 所在的水平方向就是剪切的「不动方向」。这种「变而不缩、方向不变」的特殊方向，正是第 11 章特征向量的预告片：哪怕是最「歪」的变换，也往往藏着几个不肯转向的方向。

工程场景：材料力学里的切应力作用在微元上，产生的正是微小剪切变形——剪切矩阵是「切应变」的几何化身。蒙皮受剪、铆钉受剪、螺栓受剪，破坏大多发生在「层与层错动」的方向上；工程师反复强调「抗剪校核」，几何原型就是本节的推斜动作。再看流体：边界层内速度剖面层层错开，也是剪切场的连续版本。

⑤ 投影：把空间「拍扁」

矩阵 [[1,0],[0,0]] 把每个向量投到 x 轴上：y 坐标被抹掉。正方形被「拍扁」成一条线段。注意它的行列式是 0——这就是第 7 章说的「降维」，投影是不可逆的。

投影把「行列式为 0」的含义一次说透——这是全书三条主线的交汇点。其一，几何线：det 是面积缩放率，投影把平面压成直线，面积缩放率恰为 0。其二，方程线（第 8 章）：det=0 意味着逆矩阵不存在——像上一点 (4,0) 对应原平面上整整一条直线 (4,t) 的原像，「从像还原原」没有唯一答案，撤销动作无从定义。其三，空间线（本节稍后的核与像）：整整一个方向（y 轴）被送进零向量，信息在核中湮灭。三条线说的是同一件事的三个侧面：降维＝丢信息＝不可逆。工程上处理投影的正确姿势从来不是「假装没丢」，而是把丢失的信息另行存档（如渲染里的深度缓冲），或干脆在设计阶段就只依赖「像」里的信息做判断。

投影矩阵还有一个可爱的代数签名——幂等性 P²=P：投一次之后再投一次，结果还在原地（已经落在 x 轴上的点，再投影纹丝不动）。手算验证：[[1,0],[0,0]]² 的第一行 = (1×1+0×0, 1×0+0×0) = (1,0)，第二行 = (0,0)，平方仍等于自身。这个性质是「投影」的代数定义（第 11 章会看到：幂等矩阵的特征值只能取 0 或 1，正对应每个方向「消失/留下」两种命运）。

顺带分清两种投影：正交投影沿垂直方向「拍」到直线上（本节的 [[1,0],[0,0]] 就是沿 y 方向拍到 x 轴）；斜投影沿斜方向拍。两者都幂等、都降维，区别只在「拍的方向」。工程图纸的正投影三视图用正交投影；太阳斜照下影子在地面上的拉伸，更接近斜投影。教材与手册不特别说明时，默认都是正交投影。

补第六块积木：镜像（反射）

速查表之外还有一块常用积木——镜像。关于 x 轴翻转的矩阵是 [[1,0],[0,−1]]：e₁ 原地不动、e₂ 掉头向下，整个平面变成自己的「上下反演」。它的行列式 = 1×(−1)−0×0 = −1。对照第 7 章可知：行列式的绝对值是面积缩放率，而符号是「定向」标记——正号表示变换后网格手性不变（旋转、剪切都是正），负号表示手性翻转（镜像是负）。右手系变左手系、逆时针变顺时针，都由这个负号负责。镜像矩阵同样是正交矩阵（转置=逆：照两次镜子回到原样），它不改长度、只翻定向，是「保距变换」家族的一员。

工程场景：投影降维无处不在。航电生成顶视/侧视/前视三视图，本质是用投影矩阵把三维机体坐标「拍扁」到不同平面；图纸上标注的杆长，是真实杆件在纸面上的投影长度。液压作动筒把输出力 F 化为沿连杆轴线的有效推力，做法是把力向量点乘轴线单位向量——那正是投影的代数内核（有效分量 = 模长×夹角余弦）。投影的代价是信息损失：三维场景投到二维屏幕后「谁前谁后」被一并压扁，渲染管线必须另存一份深度缓冲（z-buffer）才能正确处理遮挡——降维不可逆，工程上用「备份数据」补救。

至此积木箱齐了：恒等、缩放、旋转、剪切、投影、镜像。一个自然的问题是——六块积木能搭出所有 2×2 变换吗？答案是肯定的，而且有句漂亮的口号：任何变换都能「先转到合适的角度，沿轴缩放（含翻转），再转回去」。把「转角」交给旋转、「伸缩」交给对角阵，就得到「旋转×对角×旋转」三连乘。这个直觉版可以先记下来，学完第 11、12 章后会看到它的严格版本——那正是特征分解与奇异值分解的思想内核。

10.4复合 = 乘法，再谈基变换

第 5 章已经证明：两个线性变换连着做（复合），对应的矩阵就是相乘。这一章我们再次确认：先做 B、后做 A，等价于作用复合矩阵 AB。

这里再点出一个重要视角——基变换。矩阵的列，本质上是在回答「我用哪组基来丈量空间」。标准基 (1,0)、(0,1) 是最常用的尺子，但有时换一把尺子（换一组基）会让问题大大简化。比如下一章，我们会找一组「变换后方向不变」的特殊基——特征向量，让矩阵变成最简单的对角形式。

算一算：复合的顺序为什么不能乱

核与像：变换的「入口档案」与「出口清单」

评价一个变换「吞掉了什么、产出了什么」，标准工具是一对子空间。核（kernel，记 ker T）：所有被送到零向量的输入，ker T = {v : T(v)=0}——进来就消失的点；像（image，记 im T）：所有可能被产出的输出，im T = {T(v) : v 遍历整个空间}——变换的「产品目录」。用第 9 章的语言翻译：im T 就是矩阵各列张成的空间，其维度正是矩阵的秩；ker T 则是齐次方程 Mv=0 的全部解。

以投影 M=[[1,0],[0,0]] 为例：y 轴上每一点 (0,t) 都被拍到原点，所以 ker T 是整条 y 轴（1 维）；所有输出都落在 x 轴上，所以 im T 是整条 x 轴（1 维）。两个维数相加恰等于输入空间的维数：1+1=2。这不是巧合，而是一般规律——维数公式 dim(ker T) + dim(im T) = n（秩-零化度定理的几何形态）：n 个维度的「信息预算」，一部分在核里湮灭，其余全数流向像。可逆变换（第 8 章 det≠0）是极端特例：核里只剩零向量、像填满全空间——信息零损失，变换才能被完美撤销。

把维数公式与第 9 章的秩接上：dim(im T) = r(M)（矩阵的秩），于是 dim(ker T) = n − r(M)——这正是第 6 章「n 个未知数、r 个有效方程，剩 n−r 个自由变量」的几何化身。例题 6 中 r=2、自由变量 0 个（核只含零向量）；投影中 r=1、自由变量 1 个（核是一整条 y 轴）。「秩」「自由变量个数」「核的维数」，三个术语讲一个故事：信息量守恒。

工程场景：结构分析把斜撑杆轴力「分解」到节点坐标方向，是投影（像=有效分量，核=垂直方向的无效分量）；信号处理把含噪测量「投影到信号子空间」去噪，是核与像思路的反用；网格生成软件剔除退化三角形的判据，是面积映射的行列式趋近 0——核在膨胀、像在坍缩的量化信号。凡是需要判断「这步变换丢没丢信息」的场合，先看核与像。

「换基」补一个可触摸的画面。剪切矩阵 [[1,2],[0,1]] 在标准坐标下，两列 (1,0)、(2,1) 看着并不「整齐」；但若把尺子换成沿「不动的水平方向」与「被推斜的方向」来度量，同一个变换的数字面孔立刻简洁许多。矩阵的具体数字取决于用哪把尺子量，而变换这个「动作」与尺子无关——就像同一段航程，用海里记和用公里记数字不同，航程本身没变。挑一把让数字最简洁的尺子，就是「换基」的全部动机；下一章的特征向量，就是为每个变换量身定制的「最好尺子」。

收束成一张随身词典：变换 ↔ 矩阵（列=基像）；复合 ↔ 乘法（后做的在左）；撤销 ↔ 逆矩阵（det≠0 才存在）；缩放率 ↔ 行列式（符号=定向）；信息流 ↔ 核与像（维数公式守恒）。这张词典表在第 11、12 章还要继续扩充，但骨架已经立稳：几何的每个动作，都有代数的一个记号。