第 10 章　定积分：面积

10.1问题：一块「曲边」的面积

求面积，我们从小就会：矩形是「长 × 宽」，三角形是「底 × 高 ÷ 2」。但如果边界是弯曲的呢？比如求曲线 y = f(x) 在 [a, b] 之间、与 x 轴围成的「曲边梯形」的面积，旧公式就全部失效了。

面对这个难题，数学家的思路朴素得惊人：我不会算弯的，但我会算直的。那就把弯的，切成很多很多小段，每一小段近似看成直的，加起来——切得越细，就越接近真实面积。

深入一层：「直」与「曲」的矛盾到底卡在哪

矩形面积 = 长 × 宽、三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2，这些公式有一个共同的隐含前提：参与相乘的关键量是均匀的。矩形的高处处相同，所以「高」这个数才有资格被乘一次；三角形的底上的高随位置匀速变化，恰好可以「折半」。可曲边梯形的高 f(x) 一刻不停地变，且变得毫无乘法规律可循——这就是「直」与「曲」的矛盾：我们手头的面积公式，全是「把两个不变的量乘起来」，而这里偏偏有一个量在变。

怎么办？数学史上有一条屡试不爽的黄金路线：办不到的事，退一步改成「近似」，再让近似无限精确。高 f(x) 在整个区间 [a, b] 上变化剧烈，但把区间切得足够窄之后，f 在一小段里的变化就微乎其微——放大镜下的曲线，看起来几乎是一小段直线。也就是说，「变」与「不变」之间没有楚河汉界，只有尺度的差别：尺度越小，「变」就越接近「不变」。这正是第 5 章微分「局部以直代曲」思想的镜像：那里用一小段切线代替曲线来算增量，这里用一小条常高度的矩形代替曲边来算面积，两者的误差都随尺度缩小而消失。同一个哲学，一次用在「线上」，一次用在「面积上」。

两个「梯形」要分清：平面几何的梯形有两条平行的直边；「曲边梯形」的上边可以是任意曲线，甚至允许退化为三条边界（如 y = √x 在 [0, 1] 下方的区域）。也别被「面积」二字锁死视野：第 12 章会用一模一样的四步法算体积、弧长、功与液压力，区别只是把「高 f(ξᵢ) × 宽 Δxᵢ」换成别的「局部量 × 尺寸」。四步法是一种通用范式，面积只是它的第一个应用。

10.2四步法：分割、近似、求和、取极限

把「切细条」的思路规范化，就是著名的四步法：

① 分割

把区间 [a, b] 分成 n 个小区间，分点为 a = x₀ < x₁ < … < xₙ = b。每个小区间的宽度记作 Δxᵢ。

两点值得较真的细节。第一，分割不必均匀：曲率大的地方切密些、平缓处切粗些，完全允许；定义真正关心的是「每一小段都足够窄」。为度量这件事，记所有小区间宽度中最大的一个为 λ = max Δxᵢ，称为分割的细度。第二，「随便取一点」之所以敢随便，是因为小区间已经足够窄——窄到 f 在其上的起伏（最大值减最小值，称为振幅）也小，取哪一点当代表，算出的高都差不太多；这点「差不太多」将在取极限时被彻底洗掉。

② 近似

在每个小区间 [xᵢ₋₁, xᵢ] 内，随便取一个点 ξᵢ，用 f(ξᵢ) 作为这个小区间上「高度」的代表，于是这一小条的面积近似为 f(ξᵢ)·Δxᵢ（宽 × 高）。

③ 求和

把所有小条加起来，得到总面积的一个近似值：

S ≈ f(ξ₁)Δx₁ + f(ξ₂)Δx₂ + … + f(ξₙ)Δxₙ = Σ f(ξᵢ)Δxᵢ

④ 取极限

让分割越来越细（所有 Δxᵢ 都趋于 0），这个和的极限，就是曲边梯形的精确面积。

为什么取极限要求的是「λ → 0」而不是「n → ∞」？这是个容易滑过去的坑。份数 n 再大，只要有一段顽固地保持原来的宽度，那一段的近似误差就不会消失。反过来，只要最长的一段 λ 趋于 0，每一段都必然趋于 0（每段宽度都不超过 λ），n → ∞ 只是它的副产品。所以「细」的准确数学表述是 λ → 0，「n → ∞」只是等分情形下的直观替身。一句话：决定精度的是每一小段的粗细，不是份数的多少。

还可以更较真地问：近似值 Σ f(ξᵢ)Δxᵢ 与真实面积 S 到底差多少？一个漂亮的思路是把 ξᵢ 的自由「夹死」：在每个小区间上，用 f 的最大值作高摆一列高矩形，得到上和；用最小值作高摆一列矮矩形，得到下和。真实面积与任何黎曼和都被夹在中间：　下和 ≤ Σ f(ξᵢ)Δxᵢ ≤ S ≤。于是只要「上和 − 下和」能任意小，那么无论 ξᵢ 怎么取、怎么分割，所有黎曼和都被逼向同一个数 S。对连续函数这一点恰恰成立——这就把「极限存在且与取法无关」从口号变成可证明的事实（10.3 节展开）。

这道题值得再咀嚼一层。例 1 里我们只能「估」出 2.625，因为对一般区间上的 x²，求和式没有闭合公式可推极限；而这里换成 [0, 1] 等分后，Σ i² 恰好有平方和公式，四步才能走到底。可见用定义算积分，瓶颈在「求和」——只有极少数函数（x、x²、e^x 这类拥有求和公式的）能硬算到底。换成稍微不听话一点的函数，比如 sin x、√(1+x³)，黎曼和根本写不出极限。这个瓶颈逼出了一个世纪之问：能不能绕过求和、直接算出定积分？牛顿与莱布尼茨的回答是：能——这正是第 11 章的主线。

10.3黎曼和与定积分的定义

上一步求出的那个和 Σ f(ξᵢ)Δxᵢ，叫黎曼和（以德国数学家黎曼命名）。当分割无限细化时，黎曼和的极限，就定义为定积分：

这里有个令人安心的事实：只要 f 在 [a, b] 上连续（或至多有有限个间断点），这个极限就必然存在，而且与怎么分割、怎么取 ξᵢ 都无关。也就是说，无论你用矩形、用左端点还是右端点，最后都会收敛到同一个数——这个数，就是面积。

现在你能看懂上一章那个「拉长的 S」了：积分号 ∫ 其实就是拉丁词 summa（总和）的首字母 S 的拉长——因为定积分的本质，就是「求和」的极限。

哪些函数可积？——直觉版判定

定义中「极限存在」并不是白送的，它取决于 f 的品性。10.2 节的夹逼思路给出一个极清晰的直觉判据：只要「上和 − 下和」能被压到任意小，f 就可积。对连续函数这几乎是显然的——闭区间上的连续函数变化「受控」（第 4 章的一致连续性：给定任何 ε > 0，存在 δ > 0，宽于 δ 的区间上函数值起伏不超过 ε），分割够细时每个小段的振幅都小于 ε，于是「上和 − 下和」≤ ε·(b − a)，要多小有多小。结论：闭区间上的连续函数必可积——工程中遇到的函数几乎都在此列。

条件还能放宽：有限个间断点的函数照样可积。在每个间断点附近切出几个小段单独看管，这些小段的总长可以压到任意小，它们贡献的误差不超过「总长 × 函数上界」，随之消失；剩下的大段上函数连续，照旧把「上和 − 下和」压小。真正不可积的，是「坏到每一个小段都在剧烈跳变」的函数。教科书标准反例是狄利克雷函数（Dirichlet，1805–1859）：在 [0, 1] 的有理点取 1、无理点取 0。任何小区间内都同时挤着有理数与无理数，于是每个小段上的振幅恒为 1，「上和 − 下和」恒等于区间总长 1，怎么分割都压不小；ξᵢ 取有理点黎曼和是 1、取无理点是 0，极限根本不存在。这个反例告诉我们：可积性不是天上掉下来的默认属性，而是「函数在微观上变化受控」的精确表述。工程量的连续性假设（速度、温度、压强分布），本质是在为「可积分」背书。

把「哑变量」与「可积性」合起来看，定积分其实在陈述一件很工程的事：一个连续的变化率，乘上区间长度，就累计出一个总量；这个总量只认函数本身与两端点，不认你用什么字母记、怎么采样。机械式电能表的转盘以正比于功率的转速旋转，累计转数就是「∫ 功率 dt」的硬件实现；加油机的流量计对流过管道的流速逐小段累乘得到升数；水表同理。它们都默认同一物理前提——变化率是连续（至少分段连续）的，因此可积，机器的累加才有意义。反过来，仪器的「累计误差」正是黎曼和与极限之间的差距：采样越密，读数越接近真值。

达布上和、下和：给夹逼装上刻度

10.2 节用「上和 − 下和」把 ξᵢ 的取点自由夹死了。这套护栏值得升级成正式装备：给定分割 P，在每个子区间上取 f 的最大值 Mᵢ 与最小值 mᵢ（闭区间上连续函数必取到），定义达布上和 U(P) = Σ MᵢΔxᵢ 与达布下和 L(P) = Σ mᵢΔxᵢ——取名纪念法国数学家达布（Darboux，1842–1917）。于是任何取法的黎曼和 R(P, ξ) 都被焊死在中间：L(P) ≤ R(P, ξ) ≤ U(P)。三者分工一句话说清：黎曼和的值取决于取点运气，上下和是「运气最好与最坏」的两个极端，与运气无关。

达布视角下的可积判据随之落位：f 可积 ⟺ 上和能被压到任意低、下和能被抬到任意高，即对任意 ε > 0，存在分割 P 使 U(P) − L(P) < ε。两个实用性质加固护栏：加细分割（往里加分点）时下和只增不减、上和只减不增，两支队伍从上下两侧夹向同一个数——它就是定积分。回头看 10.2 那张 x² 的数值表：「右端点和」与「左端点和」正是一对达布上下和，因为 x² 在 [0, 1] 上单调增，右端恰是每段的峰、左端恰是每段的谷。

换 f(x) = x 再跑一遍，把护栏宽度算成明白账。取 [0, 1] 四等分（Δx = 0.25）：线性函数每段的最大值在右端、最小值在左端，U = 0.25×(0.25 + 0.5 + 0.75 + 1) = 0.625，L = 0.25×(0 + 0.25 + 0.5 + 0.75) = 0.375，护栏宽 U − L = 0.25；加密到八等分，护栏宽精确缩到 0.125——线性函数每段振幅恰为 Δx×斜率，护栏宽随 Δx 等比缩短，n → ∞ 时上下和共同压向 1/2。一个附赠观察：取每段中点做黎曼和，n = 4 时就精确得 0.5——线性函数的中点采样零误差，这是数值积分「中点法则」高精度的最早预告。

可积的三大充分条件与性质边界

「哪些函数可积」的标准答案是一张充分条件清单：① 闭区间上连续 ⟹ 可积（本节开头的一致连续性论证）；② 闭区间上单调 ⟹ 可积；③ 有限个间断点且有界 ⟹ 可积。清单里最常被漏记的是②，而它恰恰最好用：单调函数哪怕带着跳跃间断也可积——单调时每段的振幅 Mᵢ − mᵢ 就是函数在该段的增量，全部加起来不超过 |f(b) − f(a)|，于是 U − L ≤ λ·|f(b) − f(a)|，分割加细护栏自动归零。工程上「只升不降、偶尔跳档」的阶梯式标定曲线，全靠这条入场券。

更要认清清单的性质边界：充分不必要。存在「间断点多到数不清却依然可积」的函数——黎曼函数：x = p/q（最简分数）时取值 1/q，x 为无理数时取 0。它在 [0, 1] 内有可数无穷多个间断点，但函数值超过任何给定 ε > 0 的点只有有限多个，用总长任意小的区间把这些「高个子」圈起来隔离，护栏照样压得小——所以黎曼函数可积，且积分值为 0。这提醒我们：可积性真正关心的是「振幅大的点能否被总长任意小的区间圈住」，而不是间断点的个数；充分条件清单是一张安全区地图，不是可积性的国境线。狄利克雷函数站在地图之外（每段振幅恒为 1，怎么圈都圈不住），黎曼函数站在地图之内（高个子有限、可圈可隔离），两者一对比，判据的实质就显形了。

10.4定积分的几何意义与正负

定积分 ∫_a^b f(x) dx 的几何意义，就是「曲线与 x 轴之间面积的代数和」——注意是「代数和」，有正有负：

• 在 x 轴上方（f(x) > 0）的部分，面积算正。
• 在 x 轴下方（f(x) < 0）的部分，面积算负。

所以如果曲线一部分在上、一部分在下，定积分给出的是「正面积减负面积」的净值，而不是总面积。如果你要的是「总面积」，就要对 |f(x)| 积分，或把上下部分分开算。

再补充两个定积分的性质，非常直观：

• ∫_a^b f dx = − ∫_b^a f dx：上下限对调，符号变号（「反着走」就是取负）。
• ∫_a^c f dx + ∫_c^b f dx = ∫_a^b f dx：面积可以「分段相加」。

符号不是「规定」，是算出来的

「上正下负」读起来像人为约定，其实是定义的直接推论：黎曼和的每一项 f(ξᵢ)·Δxᵢ 本来就带符号——f(ξᵢ) < 0 时这一小条的「面积」自动是负数，n 个负项相加取极限，自然为负。全章唯一真正的约定是：Δxᵢ = xᵢ − xᵢ₋₁ 始终沿「从左到右」的正方向度量。由此「换限变号」也顺理成章：上下限对调等于让每个 Δxᵢ 反号，每一项都变号，整体差一个负号；而 a = b 时每个小区间宽都是 0，于是 ∫_a^a f dx = 0（零长区间面积为零）不是硬性补充，而是定义的必然。至于「分段可加」，几何上是把区域沿一条竖线切成两块，面积当然可加；在定义层面，就是沿分点把黎曼和拆成前后两段各自取极限——「和的极限等于极限的和」。

「上正下负」最深刻的收益在物理：它让定积分有能力表达「净值」。速度函数 v(t) 积分得到的是位移——前进 3 步再后退 3 步，位移为 0、路程为 6，∫v dt 算的是前者。假如当年把面积约定成恒正，「速度积分」就得随身携带符号判断，微积分与力学的接口会别扭得多。数学上把这个特性称为有向面积：自变量沿正向扫过时，逆时针边界的贡献为正、顺时针为负。同一个表达式因此拥有两副面孔——要物理净量用 ∫f，要几何真面积用 ∫|f|。

除上述两条外，定积分还有三条天天要用的性质，全部可以由「黎曼和对加法、数乘、大小关系的天然继承」直接导出：

• 线性性：∫_a^b [αf(x) + βg(x)] dx = α∫_a^b f dx + β∫_a^b g dx——和可拆、常数可提，「和的极限」继承了「和」的运算律。
• 保序性：若在 [a, b] 上恒有 f(x) ≤ g(x)，则 ∫_a^b f dx ≤ ∫_a^b g dx——逐项比较黎曼和再取极限；几何上就是「高曲线罩着矮曲线，罩出的面积不小于被罩的」。
• 估值不等式：设 f 在 [a, b] 上的最小、最大值分别为 m、M，则 m(b − a) ≤ ∫_a^b f dx ≤ M(b − a)——把曲边梯形整个夹进两个同宽矩形即可看出。它能在不动手计算前圈定积分的取值范围，是检验答案的利器。

平均高度：积分中值定理

把定积分除以区间长度，得到 f 在 [a, b] 上的积分平均值　f̄ = (1/(b − a))·∫_a^b f dx——也就是曲线在区间上的「平均高度」：把曲边梯形压平成同底的矩形，压出来的矩形高正是 f̄。由估值不等式立刻知道 m ≤ f̄ ≤ M（平均不小于最小、不大于最大）；而闭区间上的连续函数会取遍 m 与 M 之间的一切值（介值定理，第 4 章），所以平均高度一定在某处被真正取到：存在 ξ ∈ [a, b]，使 ∫_a^b f dx = f(ξ)·(b − a)。这就是积分中值定理：它把「无限求和的结果」兑换成「一点处的函数值」，在整体量（积分）与局部量（函数值）之间架桥——第 11 章证明微积分基本定理的第一块砖，正是它。

工程语言里 f̄ 无处不在：平均油耗率 = 总油耗 ÷ 总时间、平均压强 = 总压力 ÷ 受压面积、平均功率 = 总功 ÷ 时间——一切「总量 ÷ 量程」的报表指标都是积分平均值。而中值定理补上一条更深的保证：只要变化连续，平均值就一定在过程中被真实达到过。「平均 0.62」这类报表数字因此不是统计虚构——它对应着某个真实时刻的瞬时读数。

积分与求导：互逆运算的全景对照

把第 9 章与本章放进同一张对照表，微积分的主干只剩两句话。方向一（先积后导）：d/dx[∫_a^x f(t)dt] = f(x)——先对连续函数做变上限积分再求导，原样奉还，一根毫毛不少。方向二（先导后积）：∫_a^b F′(x)dx = F(b) − F(a)——先求导再积分，只回到「两端点之差」，常数项的信息回不来（求导时被抹成零的部分无法复原）。两个方向的不对称，正是「不定积分要写 + C、定积分不用」的根源：+ C 是给丢失常数补办的户口，而定积分里承担同一角色的是下限 a——∫_a^x f = F(x) − F(a)，换个下限等于换个常数。这两句话到第 11 章将升级为微积分基本定理的两大部分并获得严格证明；本章先把「互逆」的地图看清，届时定理就不是空降，而是把本章直觉逐条兑现。

陷阱专训：积分值、面积与净值，三个量别混用

例题 4 给了正弦版的「积分值 ≠ 面积」，换一道代数版再彻底排雷。口诀只有一条：问净值用 ∫f（正负抵消），问面积用 ∫|f|（分段取绝对值）；分段依据是 f 的变号点，不是区间中点。

工程报表里这两列数字各有岗位：水库的净蓄水量 = ∫q(t)dt（入库减出库，正负抵消）；水泵的累计处理量 = ∫|q(t)|dt（双向流动都计入）。电池的荷电变化用 ∫i dt 算（充放相抵），而焦耳热用 ∫i²R dt 算（平方恒正，永不抵消）。接到「算总量」的需求先问一句：这个总量允许正负抵消吗？答案决定公式里要不要绝对值——这一问，正是本章「有向面积」留给工程的最实用遗产。