第 12 章　积分应用

12.1万能招式：微元法

第 10 章我们学过一个四步法：「分割—近似—求和—取极限」。在有了基本定理之后，这套流程可以浓缩成一个更顺手的工具——微元法：

1. 切一小条：在 x 处切出一个宽度 dx 的「微元」。
2. 写微元表达式：把这一小条的量，写成 dQ = (某函数)·dx 的形式。
3. 积分求和：对整个区间积分 Q = ∫ dQ。

微元法的核心在于第 2 步：在小尺度上，把弯曲的东西看成直的、把不均匀的看成均匀的。因为当 dx 足够小时，误差是比 dx 更高阶的无穷小，积分后误差消失，得到精确值。

微元法从哪来：四步法的「速通版」

第 10 章的四步法是「分割—近似—求和—取极限」：先切 n 份、每份做近似、加起来、再让分割无限变细。微元法把这套流程压缩成了两步半：直接在 x 处象征性地切一条宽 dx 的微元，写出 dQ = f(x)dx，然后积分。被省略的「求和、取极限」去哪了？——积分号 ∫ 本身就是「求和 + 取极限」的打包符号（∫ 是拉长的字母 S，取自 Sum 的首字母）。所以微元法不是什么新原理，而是四步法的速记法：写一步微元，等于替你把四步走完。

误差去哪了：一笔定量账

「把弯的看成直的」明明是近似，为什么积分之后得到精确值？设每一小条的近似误差是 o(dx)——比 dx 更高阶的无穷小。整个区间 [a,b] 大约切了 n = (b−a)/dx 条，总误差不超过 n·o(dx) = (b−a)·o(dx)/dx。当 dx→0 时，o(dx)/dx→0，于是总误差→0。一句话：「条数增加」与「单条误差减小」在赛跑，后者赢得干干净净——高阶无穷小这个身份，就是误差的「死刑判决书」。

化整为零的通用范式：不止几何

本章用微元法算面积、体积、弧长，但这只是「入门套餐」。凡能写成「密度 × 尺寸」的不均匀总量，都在微元法的地盘内：

• 变密度细棒的质量：dM = ρ(x) dx（线密度 × 长度微元）；
• 变力做的功：dW = F(x) dx（力 × 位移微元）；
• 变化的电流充入的电量：dQ = i(t) dt（电流 × 时间微元）；
• 变化的注水速率灌入的水量：dV = q(t) dt（速率 × 时间微元）。

它们的共同点是：总量 = 各处的「密度」在区间上的积分。「均匀时用乘法，不均匀时用积分」——这十二个字就是微元法的全部哲学。

一张表看懂：四步法与微元法的对应

看得出来：微元法的每一步都能在四步法里找到出处。用微元法解题，不是学新招，而是把老招式练到肌肉记忆。

微元法的适用边界：可加量才配写 dQ

五连问把流程讲全了，但流程的前置资格更该先审：微元法只对「可加量」成立——总量等于各部分之和的量（质量、面积、体积、功、电量、力矩）。凡是「强度量」——密度、压强、温度、质心坐标、平均速率——都不能直接写 dQ = f dx：把两段棒的「平均密度」加起来毫无意义。强度量走微元法有两条正路：乘上载体变可加（线密度 × 长度元 = 质量元、压强 × 面积元 = 力元），或走比值路线（分子分母各积一次再相除，见下面质心例题）。同一招的变体：变速运动的「时间平均速率」也不是 ∫v dt，而是 ∫v dt ÷ ∫dt——又一个「先积两个可加量、再相除」的比值路线成员。资格审只需一问：「把区域切成两半，总量是不是两半之和？」答「是」，dQ 才有资格动笔。

两道安检之外再加一道离散抽查：取 n = 1000 的右端黎曼和数值求和，与积分值对比，误差应与 1/n 同阶。对本节例题 1 的棒（ρ = 1 + x²，[0, 4]）：积分精确值 76/3 ≈ 25.333 g，n = 1000 右端和 ≈ 25.365 g，差约 0.032 g——恰等于「半格宽 × 总增量」(Δx/2)·[ρ(4) − ρ(0)] = 0.002×16 = 0.032 g（右端和对递增函数系统性偏高）。三道检验全过，微元式从「推导」升格为「验证过的结论」——「先积分、再抽查」是工程上新公式上岗前的标准回归测试。

离散抽查同时回答一个更深层的问题：微元法「丢掉的高阶项」去哪了。dQ = f(x)dx + o(dx) 的尾部，在求和后被 (b − a)·λ·max|f′| 量级的小量锁死——上例 0.032 g 的可见残影正是它。所以微元法不是「近似的将就」：它把误差的阶提前写进了公式结构里，取极限时误差必然消散——这是它与「拿矩形硬贴曲线」的粗糙手算的本质区别。

物理应用补强：变力做功与质心（全数值两例）

12.2求平面图形的面积

由第 10、11 章，我们已经知道：曲线 y=f(x)（f≥0）在 [a,b] 下的面积是：

S = ∫_a^b f(x) dx

现在推广一点：两条曲线围成的面积。若上方曲线是 y = f(x)，下方是 y = g(x)（f ≥ g），那么在 x 处的一小条，高度是 f(x) − g(x)，宽度 dx，微元 dS = [f(x) − g(x)] dx。于是：

交点定限：代数先行，几何后动

两曲线求面积的第一步永远是联立方程找交点——交点给出积分限。第二步判断谁上谁下（取一个中间点代入试一下即可）。这两步都是代数活：积分限解错、上下颠倒，后面算得再漂亮也是白算。

曲线交叉时：先分块，再分积分

若两条曲线在中途交换上下位置（交叉），「上减下」在整段区间上就不再成立——正确做法是在交叉点切开、分块积分、各自「上减下」再相加。例如 y = sin x 与 y = cos x 在 [0, π/2] 上围成的面积：两者在 x = π/4 处交叉，于是 S = ∫₀^π/4(cos x − sin x)dx + ∫_π/4^π/2(sin x − cos x)dx = (√2−1) + (√2−1) = 2(√2−1) ≈ 0.828。若偷懒只写一块，负面积会悄悄吃掉一半结果——「分块」是积分应用里屡试不爽的补丁。

例如求 y = x 与 y = x² 围成的面积（两曲线交于 x=0 和 x=1，且 x ≥ x² 在 [0,1] 上）：

S = ∫₀¹ (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3]₀¹ = 1/2 − 1/3 = 1/6

对称性：能省一半就省一半

极坐标：旋转对称图形的主场

有些图形绕着原点「转」——心形线、玫瑰线、螺线。用直角坐标描述它们别扭，用极坐标 (r, θ) 则浑然天成：一个点由「到极点的距离 r」与「方向角 θ」定位。此时面积微元不再是竖条，而是小扇形：角度 dθ 对应的小扇形近似为半径 r、底边弧长 r·dθ 的小「三角形」，面积 dS = ½ · 底 · 高 = ½ r² dθ。于是：

同一道题的两种积分方向（自检级技巧）

例 2 对 x 积分一步到位；其实对 y 积分也能算——费点劲（要拆两块），但结果必须仍是 9/2，这正好构成一次「独立复算」式的自检。做法：把边界曲线都解成 x 关于 y 的函数。y ∈ [0, 1] 时，区域左右边界是抛物线的两支 x = −√y 与 x = √y；y ∈ [1, 4] 时，左边界换成直线 x = y − 2，右边界仍是 x = √y。于是：

S = ∫₀¹(√y − (−√y))dy + ∫₁⁴(√y − (y − 2))dy = 4/3 + 19/6 = 27/6 = 9/2

两条路、一个答案——「双轨对账」式的安心。选方向的口诀：哪边的边界表达式好解、哪边不用拆块，就用哪边；两种做法互为对方的质检员。

选择准则：极坐标还是直角坐标，看谁描述边界更省话

两套坐标系都会算面积之后，问题从「怎么算」升级为「选哪套」。准绳一条：谁让边界表达式更简单、积分更少拆块，就选谁。展开成三问：① 边界是不是「到定点的距离」型图形（圆弧、玫瑰线、心形线、螺旋线）？是 → 极坐标主场。② 区域是不是标准「上下曲边梯形」（y = f(x) 上、y = g(x) 下）？是 → 直角坐标一步到位。③ 两可的混合图形（圆与直线围成等）→ 两套各把「微元 + 限」写到一半再比，谁不用拆块用谁。

上手前的锚点自检：单位圆盘在极坐标下 A = ½∫₀^2π 1² dθ = ½×2π = π，与 πr² 完全咬合——微元 ½r²dθ 通过「常数退回」安检的现场。

对照实例：心形线 r = 1 + cos θ。写成 y(x) 要拆成多段分段函数，写成 r(θ) 只有一行——选择毫无悬念。A = ½∫₀^2π (1 + cos θ)² dθ = ½∫(1 + 2cos θ + cos²θ)dθ = ½(2π + 0 + π) = 3π/2 ≈ 4.712。量级核查：r_max = 2，外包圆盘面积 4π ≈ 12.57，结果落在圈内且量级相合。反过来，直角坐标的招牌区域（抛物线与直线围成）硬译成极坐标，处处出现 √ 与 tan⁻¹，寸步难行——「省话」不是偷懒，是压缩出错面。再看玫瑰线的「拆瓣定限」：r = 2cos 2θ 的一瓣夹在 θ = −π/4 与 π/4 之间，一瓣面积 = ½∫_−π/4^π/4 4cos²2θ dθ = ½×4×(π/4) = π/2 ≈ 1.571，四瓣合计 2π。极坐标定限的功力全在「读出图形随 θ 的重合与分裂」——一瓣一积再乘瓣数，是玫瑰线、心形线一族的通用解法。工程同款思维：旋转对称件（法兰、卡盘、喷管截面）一律极坐标建模，非旋转件才上直角坐标。选择准则的终极自检只有一句：微元在图上画得出来吗？画得出来，再看拆块与反解的成本；画不出来，坐标系一定选错了。

12.3求旋转体的体积

把曲线 y=f(x) 在 [a,b] 上的一段，绕 x 轴旋转一圈，会扫出一个立体（像一个花瓶或陀螺），叫旋转体。怎么求它的体积？

用微元法：在 x 处切一个厚度 dx 的薄片。这一薄片近似是一个圆盘，半径 r = f(x)，所以它的体积微元 dV = π·r²·dx = π·[f(x)]² dx。积分得：

经典例子：求半径为 R 的球体体积。把上半圆 y = √(R² − x²) 绕 x 轴旋转，就得到球。于是：

V = ∫_−R^R π(R² − x²) dx = π[R²x − x³/3]_−R^R = 4πR³/3

我们居然用积分「重新发明」了小学背过的球体体积公式 V = 4πR³/3——这就是微积分的威力：所有那些背过的公式，都能从这里推出来。

再用积分「发明」一个公式：圆锥

垫圈法：旋转轴不穿过区域时

到目前为止，旋转区域都贴着旋转轴（内半径为零）。若旋转的区域离轴有距离——比如两条曲线之间的区域绕轴旋转——x 处切出的薄片就成了中间带洞的「垫圈」：外半径 R(x)（离轴远的曲线）、内半径 r(x)（离轴近的曲线）。垫圈体积 = 大圆盘 − 小圆盘：

绕 y 轴旋转：换个轴，同一招

至此所有公式都默认绕 x 轴。绕 y 轴时不必背新公式，只需换个身份看曲线：把 x 写成 y 的函数 x = g(y)，让 g(y) 出演「圆盘半径」的角色，积分变量换成 y、微元宽换成 dy。区域不贴 y 轴时，同样有垫圈版。

回头看：圆盘、垫圈、绕 x 轴、绕 y 轴，看似四个公式，实为同一个微元思想换四件外衣——找到垂直于旋转轴的切片，算出切片面积，乘上厚度，积分。

第三种武器柱壳法：三法选择决策树

圆盘、垫圈之外还有第三件常用工具——柱壳法：绕 y 轴旋转时，把区域竖切成一条条「平行于轴」的窄条，每条转出一层薄圆筒，体积微元 = 周长 × 高 × 厚 = 2πx·h(x)·dx。它的价值在免反解：区域若由 y = f(x)、y = g(x)（x 的函数）描述，垫圈法必须把边界反解成 x = √y 之类，柱壳法原样沿用 x 表达式。决策树三步：先问绕哪个轴；绕 x 轴 → 切片⊥轴，区域贴轴用圆盘、离轴用垫圈；绕 y 轴 → 边界已是 x = g(y) 就垫圈对 y 积分，边界是 y = f(x) 就柱壳免反解。

双法对账实算：y = x² 与 y = x 围成的区域（[0, 1] 上直线在上，交点 (0, 0) 与 (1, 1)）绕 y 轴。柱壳法：dV = 2πx·(x − x²)dx，V = 2π∫₀¹ (x² − x³)dx = 2π(1/3 − 1/4) = π/6 ≈ 0.524。垫圈法：对 y 积分，右边界 x_右 = √y、左边界 x_左 = y，dV = π[(√y)² − y²]dy = π(y − y²)dy，V = π(1/2 − 1/3) = π/6——两法同值、互为质检，柱壳法全程没出现一次根号。顺带一记警钟：同一区域绕 x 轴的体积是 π∫₀¹ [x² − x⁴]dx = π(1/3 − 1/5) = 2π/15 ≈ 0.419，与绕 y 轴的 π/6 不同——先定轴、再选法，轴换了体积必换。使用边界：柱壳要求壳高 h(x) 一式写完，壳高中途换段就得拆块或回垫圈——三法是三件工具，不是三选一的信仰。

决策树最大的岔路口，是把「绕 x 轴的圆盘思维」错带进绕 y 轴的题：常见病是转 y 轴时仍写 dV = π[f(x)]²dx——切片方向安在了错误的轴上。防呆动作是「先画一层微元、再誊抄公式」：绕 y 轴、以 x 为自变量时，画出来的应是一层柱壳（半径 x、高 h(x)、厚 dx），而不是一片圆盘；顺手量纲核查——2πx·h·dx 是长度³，π[f(x)]²dx 也是长度³，量纲都配平却答案迥异——量纲挡不住「轴带错」的错误，图形才能。

12.4求曲线的弧长

最后求一条曲线 y=f(x) 从 a 到 b 的长度。曲线是弯的，怎么量？还是微元法：在 x 处取一小段，它的水平增量是 dx，竖直增量是 dy = f′(x) dx，这一小段近似为直角三角形的斜边（勾股定理）：

ds = √(dx² + dy²) = √(1 + [f′(x)]²) dx

延伸一步：参数方程的弧长

若曲线不用 y = f(x) 而用参数方程 x = φ(t)、y = ψ(t)（t 从 α 到 β）表示，弧长微元依然出自勾股定理：ds = √(dx² + dy²) = √([φ′(t)]² + [ψ′(t)]²)·dt。圆、摆线、螺线这类「天生绕圈」的曲线，用参数表示最自然，这版公式也就成了它们的标准量尺。